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Schon vor 20 Jahren ^ kurz nach dem Erscheinen meiner ^ Hilfstafel zur Berechnung elfstelliger Logarithmen (Wien bei Beck 1857) reifte in mir der Entschluss grössere Tafeln zur Berechnung ^ von 20 stelligen Logarithmen folgen zu lassen. Der Plan war bald ^ ^entworfen, drei Columnen von je loooo Logarithmen für 3 Factoren angenommen und die Berechnungsart festgesetzt. Die Columnen A (Log. von 1000 bis 9999) und B (Log. von 1 0000000 bis 10009999) wurden in Angriff genommen und mit theilweiser Bei- hilfe geübter Rechner vollendet. Als Grundlagen dienten für A die Tafel von Sharp und die gewöhnlichen Factorentafeln und für die Primzahlen die Wolfram 'sehe Tafel der natürlichen Loga- rithmen im Vega' sehen Thesaurus. Zur bequemeren Verwandlung der letzteren in Brigg 'sehe berechnete Official C. Slawik eine Hilfstafel von lOooo Vielfachen des Moduls (M= 0*4342 9448 1903 25i8 2765 1128 9. . •)> die von mir revidirt und mit grossem Vortheile verwendet wurde. Die Columne B entstand auf die übliche Weise durch Berechnung von zwei Serien von Grenzlogarithmen^ deren immer enger gezogene Intervalle durch Interpolation ausgefüllt wurden, wobei 4 Differenz- reihen berücksichtigt werden mussten, und die Unterschiede der Resultate die Richtigkeit derselben verbürgten. Ein in Wilhering verlebter Winter gewährte hinreichende Müsse die restliche Columne C (Log. von 1000 0000 0000 bis 1000 0000 9999 [nebst den Propor- tionaltäfelchen]) fertig zu machen, die auf ähnliche Art wie A zu Stande kam. Nach Wien zurückgekehrt nahm ich die Revision der Columne A vor, eine Arbeit, die wegen der Entwicklung von 6 Differenzreihen sehr zeitraubend war und bei der ich aufs beste und ausgiebigste von meinem Neffen, Anton Steinhaus er (nun Professor der Mathematik an der Wiener Bau- und Maschinen- Gewerbeschule), unterstützt wurde. Diese Revision führte zur Entdeckung von mehr als 140 Rechnungs- und Schreibfehlern, auch eines noch unangezeigten Druckfehlers in der Tafel von Wolfram. Bei dieser Gelegenheit wurden auch die 20 stelligen Logarithmen der Primzahlen zwischen 1000 und 6610, mit denen F. Stiozzi-Ridolfi die Florentiner Ausgabe der Log. von Gardiner (181 o) bereichert hatte, verglichen, wodurch in diesen zahlreiche mitunter sehr bedeutende Rechnungs- und Druckfehler entdeckt wurden. 427055 — IV — Nun sollten bei der Zusammenstellung der drei Columnen die Endziffern gleichmässig, bezüglich der erhöhten Stellen, einen Punkt erhalten und da zeigte sich leider, dass die Reinschrift von B und C mit der 20. Stelle abschloss und die Originalrechnungen bei der Uebersiedlung in Verlust gerathen waren. Entweder musste zur gleichförmigen Durchführung der Erhöhungs - Signatur die Stellenzahl beschränkt werden oder eine neue Interpolationsrech- nung bei 20000 Log. zur Feststellung der Endziffern unternommen werden. Ersteres schien zu dem Umfange der Tafel im Miss- verhältnisse zu stehen und so erübrigte kein anderes radicales Mittel als die mühsame Arbeit zu wiederholen, und dabei den Vortheil zu erringen, selbst die 21. Ziffer noch bis±o'5 richtig zu erhalten und so eine präcise Sicherheit für die 20. Stelle zu erreichen. Die Arbeit ward vollendet, durch I. und II. Differenzen geprüft und alles schien nun reif zur Zusammenstellung. Da erfreute mich Herr Oberst F. Burnier durch die Zusendung eines Separat- Abdruckes seines Aufsatzes ,,Sur le calcul des logarithmes ä un grand nombre de ßgures*' in den Verhandlungen der Gesellschaft für Naturwissenschaften im Canton Waadt (T. XI), worin er eine neue Art der Factorenentwicklung bespricht und eine Verbesserung an meiner mittlerweile (bei Beck in Wien 186 5) erschienenen Hilfstafel zur Berechnung 1 5 stelliger Logarithmen vorschlägt, nämlich die Anbringung einer Correction zur Columne C, um den 16000^®° Theil des Log. C modificirt als Logarithmus für einen vierten Factor benützen zu können. Und in der That erscheint es vortheilhafter, die Proportionaltäfelchen durch die Einführung einer dritten, sehr bequemen Division, rücksichtlich eines vierten Factors und einer vierten Columne Z) (Log. von 1000 0000 0000 0000 bis 1000 öooo 0000 9999) entbehrlich zu machen, und so mit :[ji^ei Ansätzen (Z) -f- Z) : 1 0000) zu erhalten, wozu man mittelst der Proportionaltäfelchen acht Ansätze nöthig hatte, abgesehen von der beseitigten Möglichkeit beim Herausschreiben so vieler Partial- produkte sich im Stellenwerthe zu irren. Die neucreirte Columne D dient demnach als einzige riesige Proportionaltafel für die End- ziffern (v. d. 17. an) des Factors IV und konnte um so leichter den anderen angefügt werden, weil sie mit der früher erwähnten Hilfstafel zur Umwandlung der Wolfram' sehen Logarithmen in der Beschränkung auf 10 Stellen vollkommen übereinstimmt, also nicht erst berechnet, sondern nur reducirt zu werden bi-auchte. Nach dem definitiven Beschlüsse der neuen und letzten Combi- nation kam die Copiatur und das Zusammenschreiben aus den gesonderten Originalberechnungen an die Reihe, mit gleichzeitiger > — V — Reduction auf 21 Stellen und der Signatur der erhöhten Endziffern; da entstand nochmals das Bedenken , ob bei der Seltenheit des Gebrauchs von 20 stelligen Logarithmen die üblichen Methoden und Hilfstafeln nicht ausreichen und ich mir das Schreiben und Rectificiren von 40000 Logarithmen lieber ersparen sollte. Nochmals verglich ich alle mir bekannt gewordenen Arten von der Auflösung in Factoren (Flower 1777 London, Leonelli 1802 Paris, HoOel 1864 Paris, Thoman 1867 Paris, Burnier 1873 Genf, Sedlaczek 1874 Wien) und viele log. Tafelwerke, worin Hilfstafeln zur Berech- nung vielstelliger Logarithmen vorkamen (z. B. Galle t, Gardiner, Westphal, Salomon, Schrön, Gernerth etc.), versuchte die Lösung von passenden Aufgaben nach verschiedenen Systemen, mit und ohne den angegebenen Kunstgriffen zur Rechnungs-Kürzung, und gelangte schliesslich zu folgenden Wahrnehmungen. Bezüglich auf die ZerfäUung einer gegebenen Zahl in Factoren bleibt der Aufwand an Ziffern durchgehends ziemlich gleich; bei deiji Addiren der Factoren - Logarithmen bieten grössere Tafeln den Vortheil weniger Ansätze, also eine Ersparung an Ziffern und Mühe und mehr Sicherheit für die Richtigstellung der Endziffer. Wenn es sich aber handelt zu einem gegebenen Logarithmus die Zahl zu suchen, dann sind umfangreichere Tafeln von grossem Nutzen; man erhält wenige Factoren und geniesst als selbstver- ständliche Folge das Bene einer kürzeren und bequemeren Multi- plication. Allerdings gewähren kleine Hilfstafeln die Möglichkeit einer leichteren Controle ihrer Fehlerlosigkeit, während grössere das Misstrauen des ängstlichen Mathematikers zu bekämpfen haben, und es nicht geleugnet werden kann, dass trotz der grössten Vorsicht und Aufmerksamkeit, selbst bei Wiederholung der Correc- tur von mehreren Individuen, unter Hunderttausenden von Ziffern Druckfehler übersehen werden, die nicht immer leicht zu entdecken sind. Ueberdiess macht kleine Tafeln der geringe Umfang tauglich, als Anhang grösserer Tafeln leicht Platz zu finden, oder selbst- ständig durch Billigkeit jedem zugänglich zu sein. Unter den verschiedenen Berechnungsarten dürften jene im allgemeinen vorgezogen werden, die mit der geringsten Schwierigkeit ausführbar sind, keine ermüdende und anstrengende Aufmerksamkeit erfordern und doch genügende Resultate geben. Nach Erwägung aller Gründe für und wider beschloss ich, meine Tafeln nicht als überflüssig und werthlos fallen zu lassen, sondern ins Reine zu schreiben und zum Drucke vorzubereiten. Dieser Entschied wurde von mehreren sachverständigen Freunden gut geheissen und es fehlte nicht an Aufmunterung — VI — von massgebenden Persönlichkeiten, den einmal betretenen Weg bis zum Ende zu verfolgen. Um das bequeme Octavformat bei- behalten zu können, theils auch um die unnöthige Aussetzung der Logarithmen von o bis looo (die beim Aufsuchen der Zahlen zu gegebenen Logarithmen zu unliebsamen Versehen Veranlassung geben kann) und damit den Satz von 21000 Ziffern zu ersparen, wurde die Columne A von den übrigen getrennt, und nur S, C, Z) mit gemeinschaftlichem Eingange vereinigt. Die Veröffentlichung meiner, den Erholungsstunden mühevoll abgerungenen Arbeit verdanke ich wesentlich der Unterstützung durch die k. k. Akademie der Wissenschaften, die das Manuscript für druckwürdig erklärte und eine ausreichende Suh- vention zusicherte, ferner der Bereitwilligkeit zur Uebernahme von Seite der Verlagshandlung von Carl Gerold's Sohn, deren Druckerei — zu ihrer Ehre sei es gesagt — die Mehrzahl der Seiten in fehlerfreiem Satze zur I. Correctur lieferte. Die Correctur^ die nach den Original-Rechnungen besorgt wurde, fiel, wegen der Untheilbarkeit derselben dem Autor allein zur Last und ergaben sich, trotz der Anwendung einer bewährten Methode (Durch- streichen der approbirten Ziffergruppen, wodurch ein Ueberspringen einer Zeile unmöglich ist und keine Störung Einfluss nehmen kann) und trotz alles Aufwandes an Vorsicht und Aufmerksamkeit bei dem letzten Vergleiche der Original - Rechnungen mit den fertigen Druckbogen noch eine Anzahl von zu berichtigenden Stellen, theils durch minder deutliche Ziffern entstandene Schreib- fehler des Manuscriptes , theils einige wenige bei den früheren Revisionen übersehene Druckfehler. Nach Verbesserung derselben bleibt nur mehr jene nicht zu beseitigende Unsicherheit der einund- :{wan:[igsten Ziffer übrig, die im schlimmsten Falle sich bis zur Einheit steigern kann, meistens aber unter o*5 zurückbleiben wird. Der Anhang zur Berechnung natürlicher 20 stelliger Logarith- men möge vorläufig genügen, bis sich jemand findet, der eine analoge Hilfstafel zu berechnen unternimmt, wozu ich eine zu eigenem Gebrauche gemachte Tafel der loooo Vielfachen des Moduls der natürlichen Logarithmen gerne zur Verfügung stellen würde. Schlüsslich übergebe ich die beiden Tafeln der Oeffentlichkeit mit dem Wunsche, dass sie in ihrer beschränkten Gebrauchssphäre sich nützlich erproben mögen. Wien, am 24. December 1879. AlltOIl SteinhaUSer, k. k. Regierungsrath. — Vll — Einrichtung und Gebrauch der Tafeln. Die Auflösung einer gegebenen vielzifferigen Zahl in eine Anzahl von Factoren kann auf verschiedene Art erfolgen, doch ist für jede Art eine bestimmte Anordnung der Hilfstafeln besser geeignet, aus denen die Logarithmen der Factoren (oder Divisoren) entnommen werden, deren Summe den verlangten Logarithmus gibt. Die vorliegenden Tafeln sind auf die Zerfallung der gegebenen Zahl in vier Factoren berechnet, die man durch drei Divisionen erhält, wovon jede folgende viel kürzer als die vorhergehende ist. Die vier Anfangspffern der gegebenen Zahl, den Stellenwerth ganz ausser Acht gelassen, bilden den ersten Factor, der zugleich der erste Divisor ist. A6s der Division der ganzen Zahl durch den ersten Factor geht der erste Quotient hervor, dessen acht Anfangspffern den ^(weiten Factor und Divisor bilden. Aus der Division des ersten Quotienten durch den zweiten Factor geht der zweite Quotient hervor, dessen ^j^Wölf Anfangs^iffern den dritten Factor bilden. Bei diesen zwei Divisionen ist die vorherige Entwicklung der Producte der Divisoren zu empfehlen. Die dritte Division (des zweiten Quotienten durch den dritten Factor) ändert nur mehr die Endziffern des dritten Factors, und selbst diese nicht, wenn die 9. und 10. Stelle des Divisors mit Nullen ausgefüllt sind. Bei dieser Division leistet ein gewöhnlicher Rechenschieber (sliding rule), der zwei bis drei Ziffern ablesen lässt, sehr gute Dienste. Die dritte Division ergibt den vierten und letzten Factor. Den Logarithmus des ersten Factors liefert die Golumne A, den Logarithmus des zweiten Factors die Columne B, den des dritten die Golumne C, Für die ersten 16 Ziffern des vierten Factors findet man den Logarithmus in der Columne Z), deren Logarithmen durch loooo dividirt zugleich den Proportionaltheil für die 17. bis 20. Ziffer des vierten Factors geben, der noch um die kleine Grösse für eine vor- handene 2 1 . Ziffer vermehrt werden muss, den pgan dem kleinen, heraus- zuschlagenden Täfelchen entnehmen kann. Bei der Addition der vier Logarithmen und der Proportionaltheile hat man zur Präcision der Rechnung noch auf die erhöhten Endziffern Rücksicht zu nehmen. Der Vorgang bei der verkehrten Aufgabe, die einem vielstelligen Logarithmus entsprechende Zahl zu finden ist nicht minder einfach. Man sucht zuerst in der Columne A den nächst kleineren Logarithmus zu dem gegebenen und zieht ihn von diesem ab. Die in der Eingangs- columne n dem nächst kleineren Logarithmus entsprechende Zahl ist der erste Factor. Mit dem Reste geht man in die Columne B ein, sucht den nächst kleineren Logarithmus und subtrahirt ihn von dem Reste. Die dem nächst kleineren Logarithmus entsprechenden vier Ziffern der Eingangscolumne müssen noch 1 000 vorgesetzt werden, um den vollständigen ^weiten Factor zu erhalten. Von dem zweiten Reste zieht man den nächst kleineren Logarithmus der Golumne C ab, und setzt den ihm correspondirenden vier Ziffern der Eingangscolumne 1 000 0000 vor um den dritten Factor zu vervollständigen. Der dritte Rest wird um den nächst kleineren Logarithmus der Golumne D ver- mindert, und müssen den vier entsprechenden Ziffern der gemein- — VIII schaftlichen Eingangscolumne i ooo oooo oooo vorgesetzt werden, um i6 Ziffern des vierten Factors zu erhalten. Um die weiteren Ziffern desselben zu bekommen, geht man mit dem vierten Reste nochmals in die Columne D ein, die man sich durch loooo getheilt zu denken hat, und sucht die nächst kleinere Zahl, der in der Eingangscolumne die Schluss-Ziffemgruppe gegenüber steht. Bleibt noch ein Rest, so gibt das kleine Prop. -Täfelchen die 21. Ziffer. Die Multiplication der vier Factoren gibt die gesuchte jZahL f , Beispiele: Sin. 37* 48*^ 0*612910705365297649336 4 CoL A, Quotient I 10000115I08052270J432 3- Col. B. » II 100000000865 121708432 6 Col. C. » III 1000000000002 1 70 1 8432 4- Col. Z). fOr 8432 D : lOOOO 7873 8962 1352 iioo 3198 8 499 4357 8243 8494 7 3756 6472 5221 6- 9424 1902 6- 3 6619 7 t 9 4 Prop.-Tf. Mit vorgesetzter Charakteristik Log. Sin. = 9*7873 9461 9467 5244 5439 Zum Log. — = 9-50285012730586614565 9 soll die entsprechende Zahl gesucht werden. Col. A 50283663862100310341 8- 3183 1348868486304224 I ,1 Abgekürzte Multiplication. F. III = 100000005932 Col. B, Col. C. Col. D, Z>:ioooo 134629202648 1484 I- 10 310 F. IV = 10000,000000051815648 2 2576459822740 o 11 F. II = 1000031 1 593200000003 o 2576234790239 o- 225032501 o 225007971 I- H5*9 9 24529 o- 10 5932 105181 F. 5648 10000000593251815651 2- 300000017797554 5- I Mit abgekürzter Multiplication erhält man die zum Log. — gehörige Zahl = TT 3183 I 100000005932 51 8 100003 10593270206457 4 30000931779810619372 2 100003 1059327020645 7 80002484746 16 165 16 6> 30000931 7798 10619 4- 0*31830988618379067154- 2 3 4 \ 7 8 F.I 1371 2742 4113 5484 6855 8226 9597 10968 12339 Noch ein Beispiel mit ▼oller Ausführung der Rechnung. Es sei der zu JV= 1,371288574238623536817 gehörige Log. zu berechnen. I. Division. 2885742386235368 1437 6642 * 10508 11583 911 6158 89 6746 6 12622 2833 9153 9276 10508 F. // II. Division. F.III III. Division. 7 I 9 2 3 4 5 6 7 8 10002 104 20004208 30006312 40008416 50010520 60012624 70014728 80016832 90018936 844920667665 44752347 47439316 74309006 42942785 2934369 933948 33758 375^ 751 51 :oö447 : Ä8447 4^93 3751 -3 (n) iO 6 6 o 2 8 5 9 6 F. IV 10 4293 I 3748 Vortheilhafte Anwendung des Rechenschiebers. Stellung: A 36 845 ^, 1 \ — *) 429 I ' Fl = 1371 aus A 1370 3745 4789 5126 5964 9- F2 = 1000 2104 aus B ; 3136 5947 6317 6806 9- F3 = 1000 oooo 8447 aus C 3 6684 8533 3698 3- F4 = 1000 oooo oooo 4293 aus D i 8644 2621 i- 3748 aus D : loooo ■. . .1^6277 5- log. N =0,1371 2885 745^3! 8623? 5368 7- N und log. N begegnen sich in dem Punkte, wo die logarithmische Curve von der arithmetischen Diagonale geschnitten wird. i ^ ') Der Dividend wird als Product betrachtet und zum Divisor als erster Factor der zweite gesucht. — IX tr=3-i4i 1 59^6 5358 9793 23B4 6 1000 1086I0309 ,1306 3478 I- loco cooo 8307 1 5638 2824 3- 1000 0000 0000 5638 1 28x9 6- 24 .4970 6793 6398 5047 B 8190 0216 3392 C 3 6076 841 1 D. 2 4485 I Log. TT =2 7"3 9522 1325 5228 2242 2 o .7 2- 0-4971 4987 2694 1338 5435 I TT ©'3183 I 0988 6183 7906 1000 0310 1 5932 7020 1000 0000 5932 I 5181 1000 0000 0000 5 181 7x53 8 6457 . o 5650 8 5647 8 A B C D 5028 3663 1346 2 Log. — z= 8621 0031 2920 2648 5762 3479 2 2500 2 8- ir 0341 1484 I 0239 o 7971 I 4524 6 3 5 9-5028 5012 7305 8661 4566- N= 3725 I 2902 9846 1914 1000 0779 I 3247 2997 loop 0000 324710467 1000 0000 000p 0467 0625 0637 6 ^143 3 6143 1 Ä B C D <57fi 2627 3383 I 7084 31 16 0222 4702 4101 5415 2028 2 Log. iV = 4783 o 0540 8 9846 o 155* 3- 6678. 7- 7- 19-5711 6012 1408 5265 3402- iv= 9999 1 0319 9774 9158 1000 0032 [ 0009 492$ 1000 00£)0 0009 { 4925 1000 0000 0000 4925 1453 , 3070 6 0033 o 0033 o A B C D 9999 5656 138 8380 1924 9740 1185 39 o^^5 2 1389 Log.iV = 8961 0740 0337 0032 H3 5 2 o- 3 3 o 9999 5795 8161 5364 0214 Cotang 0-4204 (=37® 50' 9-6") = 1*287 I 5209 9994 3823 6380 . 1 1000 4048 I 1036 8161 3349 o- ipoo 0000 . 1036 1 3966 .0014 6- . lOQo. opop. 0000 3966 [OQI 4 .1 A 1095 7854 6004 3866 B I 7576 6833 4669 C 4499 2908 D I 7224 Log. Cot. o • 4204 -= 0-1097 5431 8238 8669 Steinhauser, Logarithmen. 8454 9759 0921 1191 60 0388 7- 4 I 5 8 360 TT 114-519155 1000 7996 1000 0000 1000 0000 9026 J646 4214 9909 4211 I6233 0000 6233 4.175 4- 5349 7- 3947 4 3944 9 A 0588 0548 6675 ,B 3 4712 3106 C I 8288 r 300 Log. ^ = TT 9067 3992 1402 7069 I 9891 3503 4788 5750 7128 3 4 6 l 6- 9 2-0591 5262 8073 1534 1067- (5) Tang. i" = O'b 4848 I 1368 1113 1000 0282 I 201J 1000 0000 201 1 1000 0000 0000 3344 1675 4 8264 0609 6 7696 7419 I 7696 I 7418 2 A 6855 6261 .1158 B 1224 6931 C 8733 D 3 Log. Tang, i''^ 2207 9242 5 7087 4620 I- 6619 4325 7 34*3 3033 3 3 2216 o- 4-6855 7486 6826 9431 3439- JV= 9948 I 0094 4288 1000 0009 I 4922 1000 0000 4922 1000 00 DO ocoo o 812 4047 4C02. 4002 7646 7 2220 2 9204 2- 9202 2' A 9977 3577 ^597 B 39 0864 C 2 1375 D I Log.iV = 8983 8578 9738 7380 3 8083 2376 7321 4651 9963 8. 7 5 7- .8. 9 9977 3618 8840 4685 2398 iV= 1915! 8123 1380 5664 1000 4241 I 8475 4916 1000 0000 8471 I 8986- 1000 0000 0000 8986 1440 .1 0021 o 6798 4 6790 8 A 2821 6877 8304 B I 8414 5244 C 3 6789 D 3 Log.iV= ■ 6415 5355 0840 9025 2 4516 5 2296 9 0382 3 7021 4 9488 6- 3 5- 20*2823 5296 0342 1639 3709 Ns=s 105.5 I 5196*9299 1000 4925 I 9999 loop 0000 9994 rooo 0000 0000 0740 1222 2001. 2001 2279 4 9648 8 5291 3 5289 3 A 0232 5245 9633 71 14 6986 8 B 2 1383 7379 2039 5791 7 C 4 3403 3883 5«S4 4 D 8690 2325 8 2 2969 8 Log. AT = I 3 7 0234 6634 0417 173p 3330- -- X — JV= 1341 1 0686 1966 • 3964 1000 0511I7051 7498 1000 0000 7051 1 3894 1000 0000 0000 3894 1 9008 0617 5 8017 3 8014 5 I- A 1274 2877 7851 5989 B 2219 1881 0275 C 3 0622 1028 D I 6911 3 Ug. N= 1284 2476 3941 4271 4804 2 7 4- 6 3- 4- 2 11-1274 5100 0356 4207 6781- JV= 5364 1 6432 1000 1199 1000 0000 1000 0000 1051 105 1 0000 4541 3*80 3280 3870 3. 8446 5 8446 I A 7294 8876 B 5206 C D Log. Nz= 179 786 4564 5^«3 9187 4349 4244 3 l 0327 5 82 3 081 7 8500 I 6680 5 4 7-7295 4084 2532 3399 3563- Cos.o-44(=39*36'') = 0-7705 I1324 2775 1000 0171 I 8724 1000 0000 8724 1000 0000 0000 7802 0564 8072 8072 I 3080 2190 2770 4 2763 4 A 8867 7264 3054 4381 B 742 6372 1452 C 3 7887 8489 D 3 5056 I Log. Cos. 0*44 =s= 1780 3 447a 5- 4857 2- 2505 8- 1999 6- I 7 9*8867 8010 7317 9380 5617 .15) Sin. I"r= O'o 4848 1 1368 II 09 1000 0282 I 20 II 1000 0000 201 1 1000 0000 0000 5359 3353 I2785 2785 9359 0- 1339 9 9534 3 I9533 7 A 6855 6261 1158 B 1224 6931 C 8733 D I Log. Sin, i^^ =sg 2297 7087 6619 2095 4 9242 5 4620 I- 43*5 7 1013 2 1401 3 3 o 4-6855 7486 68^4 8004 0606- *) Die Berechnung von Log. Cos. 0,44 ist gewählt worden um einen Vergleich zu bieten mit derselben Berechnung, die in Hobert & Ideier*s trigon. Logarithmen (Berlin 1799, Vorrede S. XLVI) vorkommt. Diese Herren scheinen von Flower*8 Werk {Radix or a new way oj making Logarithmes. London 1777) so wenig etwas gewusst zu haben, als die französischen Mathematiker des Instituts im Jahre 1802 (siehe Leonelli's Hilfetafel [Paris 1802, Uebersetzung von Leonhardi, Dresden 1805]), und haben ihre Serien von Log. Sin. und Tang« nach der Formel von Cagnoli berechnet: *-* ® \2«+ A« \2« + A«> die auch in Pasquich „Analysis" vorkommt. Der bei der Rechnung beobachtete Vorgang war folgender: ;)'+••) Cos. o*44s=s«-|-J^ff' '' = o*7705'3*4a77578923o8o|3 «= 7705i3i = i7XaiX"3Xl9i DifF. n = 14277578923080 2n^ss 1 5410262 2 « + DifF. « =s 1 54102634277578923080 3 Diess der Divisor durch den 14277578923080I3.. (s=Di£F. n) zu dividiren ist. Der (Quotient ist = 0*000000002640804398299 Xa3/= 86858896380650 Product = 0*000000080474597599194 Der Cubus (s. d. Formel) kommt bei 21 Stellen nicht in Betracht. Werden zu dem Producte noch die Log. von 17, 21, 113 und 191 addirt, so geht der Log. Cod. 0*44 hervor. Die Auflösung eines möglickst grossen Theiles der gegebenen Zahl in Factoren musste versuchsweise geschehen, weil die Factoren-Tafeln nicht so weit reichen, war abd* zur Erleichterung der Berechnung nicht zu umgehen. — XI — a) Tafel zur Verwandlung der Brigg'^chen Logarithmen in natürliche. iBr. 10 II. ia 13 14 16 17 18 19 20: 21 22 »3 24 26 27 28 29 30 31 3» 33 34 36 38 39 40 41 4» 43 44 46 47 48 49 50 5» 5» 53 54 2302 5850 2532 8436 2763 102 I 2993 3606 3223 6191 3453 8776 3684 1361 3914 3946 4144 6531 4374 9"6 4605 1701 4835 4286 5065 6872 5*95 9457 5526 2042 5756 4627 5986 7212 6216 9797 6447 2382 6677 4967 6907 7552 7138 0137 7308 2722 7598 5308 7828 7893 8059 0478 8289 306J 8519 5648 8749 8233 8980 0818 N. 9299 4045 6840 1799 0229 3450 2524 1979 1159 2854 8208 2159- 2089 2259 3892 2339- 3019 1663 9576 2519- 3049 1068 5260 2699- 4875 0473 0944 Ä879- 5808 9877 6628 3050- 6738 9282 2312 3230 7668 8686 7996 3418 8598 8091 3680 3598 9528 7495 9364 3778 0458 6900 5048 3958 13^8 6305 0732 4138 2318 5709 6416 4318- 3248 5114 2100 4498- 4178 4518 7784 4678- 5108 3923 3468 4858- 6038 3327 9152 5038- 6968 2732 4836 5218- 7898 2137 0520 5397 8828 1541 6204 5577 9758 0946 18^88 5757 0688 0350 7572 5937 1617 9755 3256 6117 *547 9159 8940 6297 3477 8564 4624 6477- 4407 7969 0308 6657- 5337 7373 599» 6837- 6267 6778 1676 7017- 9210 9440 9670 9901 10131 10361 10591 10822 11052 II2§2 II512 "743 "973 12203 "433 340J 7197 5988 8127 8573 9057 1158 9987 3744 0917 6329 1847 8914 2777 1499 3707 4084 4637 6669 5567 6182 7360 5587 3044 4991 8728 4396 4412 3801 0096 3205 5780 2610 1464 2014 7148 1419 2832 0823 8516 7197- 7376 7556 7736 7916 8096 8276 8456- 8636. 8816- 9254 6497 0228 4200 8996- 1839 7426 9632 9884 9176* 4424 8356 Q037 5568 9356- 7009 9286 8442 1252 9535 9595 02t 6 7846 6936 9715 Br 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 P 84 H 86 87 88 89 9p 91 92 93 94 96 98 99 N. 2664 2894 3124 3354 3585 3815 4045 4276 4506 4736 4966 5197 54*7 5657 5887 6118 6348 6578 6808 7039 7269 7499 7729 7960 8190 8420 8650 8881 9111 9341 9571 9802 20032 20262 40493 20723 »0953 21183 21414 21644 21874 22104 "335 22565 22795 2180 4765 7350 9935 2520 5105 7690 0275 2860 5445 8031 0616 3201 5786 8371 0956^ 3541 6126 8711 1296 3881 6467 9052 1637 4222 6807 939* 1977 4562 7147 973* »317 4903 7488 0073 2658 3694 5245 4624 7828 5554 0413 6484 2998 7414 5583 8344 8168 9274 0754 0204 3339 "34 5924 2064 1146 2076 3006 16 »6 5796 6726 7656 8586 9516 0446 1376 2306 3*3 416 509 602 788 881 974 067 160 *53 340 7251 2620 9895 6655 8305 0075 6060 3089 0255 5464 9673 0435 4869 5357 0615- 4274 1041 0795- 3678 0725 0975- 3083 2409 1155- 2487 8093 1335- 1892 3777 1515. f 439 53* 62J 71 1296 0701 0106 §510 8915 8319 77*4 7128 6533 5938 9461 5145 0829 6513 2197 7881 3565 9*49 4933 0617 1694 1874 2054 2234 2414 *594 2774- 2954. 3134- 3314- 534* 6301 3494- 4747 1985 3674- 4151 7669 3853 3556 3353 4033 2960 9037 4213 2365 4721 1770 0405 1I174 6089 0579 1773 4393 4573 4753- ^ _ ,.. .., 4933- 8114 9983 7457 5113- 9044 0388 3141 9974 079* 8825 0004 8197 4509 1834 7602 0193 2764 7006 5877 641 1 5815 5220 4624 4029 343 283 **43 1647 1052 1561 7*45 2929 8613 4*97 5665 1349 7033 2717 5293- 5473- 5653- 583* 6012 6192 6372 6552 6732 6912- 7092- 7272- 745*- 7632- 7812- Diese beiden Tafeln dienen zum Gebrauche jener Rechner, die es vorziehen zu einer gegebenen Zahl den 20 stelligen natürlichen Logarithmus statt Anwendung der FlowerVhen Berechnungsart (s. S. 294) mit Hilfe dieser Tafeln zu bestimmen, indem sie den erhaltenen Brigg*schen Log. in den natürlichen verwandeln, oder im verkehrten Falle, wenn sie den gegebenen 20 stelligen natürlichen Log. in einen B r i g gesehen verwandeln und aus den Tafeln diczugehörige Zahl bestimmen wollen. — XII - b) Tafel zur Verwandlung der natürlichen^ Logarithmen in Brigg'sche. N. Br. N Br 10 434 2944 8190 3251 8276 5113- 55 2388 6196 5046 7885 0520 8121- II . 477 7*39 3009 3577 oi04 1624 56 2432 0490.9865. 8210 2348 4632 . 12 521 1533 7828 3902 1931 8135 57 *475 4785 4684 8535 4176 1143 13 564 5828 2647 4227 3759 4647- 58 2518 9079. 9503 Ä860 6003 .7655- H 608 0122 7466 4552 5587 1158 59 Ä562 3374 4322 9185 7831.4166 15 651 4417 2285 4877 7414 7669 60 2605. 7668 9141 9510 9659 0677 16 694 ^711 7104 5202 9242 4181- 61 2649 1963 3960 9836 i486 7189- 'Z 738 3C06 1923 5528 1070 0692- 62 2692 6257 8780 oi6'i 33-14 3700- 18 781 7300 6742 5853 2897 7203 63 . 2736 0552:3599 0486 .5142 0211 19 825 1595 1561 6178 4725 3714 64 2779 4846 8418 0811 6969 6723- 20 868 5889 6380 6503 6553 0226- 65 2822 9141 3237 1136 8797 3234- 21 912 0184 119Q 6828 8380 6737 66 2866 3435 8056 1462.0624. 9745 22 955 4478 6018 7154.0208 3248 67 2909 7730 2875 1787 2452 6256 23 998 8773 0837 7479 2035 9760- 68 2953 2024 7694 21 12 4280 2768- 24 1042 3067 5656 7804 3863 6271- 69 2996 6319 2513 ^437 6107 9279- »S 1085 7362 0475 8129 5691 2782 70 3040 0613 7332 2762 7935 5790. 26 1129 1656 5294 8454 7518 9294- 71 3083 4908 21 51 3087 9763 3202- 27 1172 5951 0113 8779 9346 580s- 72 3126 9202 6970 3413 1590.8813- 28 1216 0245 4932 9105 1174 2316 73 3170 3497 1780 3738 3418 5324 3213 7791 6608 4063 5246 1835 29 "59 4539 9751 9430.3001 8827 74 30 1302.8834 4570 9755 4829 5339- 75 3257 2086 1427 4388 7073 8347- 31 1346 3128 9390 0080 6657 1850- 76 3300. 6380 6246 4713 8901 4858- 3» 1389 7423 4209 0405 8484 8361 77 3344 0675 1065 5039 07*9 ^69 33 ^433 ^717 9028 0731 0312 4873- 78 3387 4969 5884 53^4 «556 7881- 34 1476 6012 3847 1056 2140 1384- 79 3430 9264 0703 5689 4384 4392- 35 1520 0306 8666 1381 3967 7895 80 3474 3558 55*2 6014. 6212 0903 36 1563 4601 3485 1706 5795 4406 81 3517 7853 0341 6339 8039 7414 37 1606 8895 8304 2031 7623 0918- 82 3561 2147 5160 6664 9867 3926- 38 1650 3100 3123 2356 9450 7429- P 3604 6441 9979 6990 1695 0437 39 1693 7484 7942 2682 1278 3940 84 3648 0736 4798 7315 35a* 6948 40 1737 1779 *7^i 3007 3106 0452- 85 3691 5030 9617 7640 5350 3460- 41 1780 6073 7580 3332 4973 6963- 1824 0368 2399 3657 6761 3474 86 3734 93*5 443^ 79^5 7^77 997i- 42 87 3778 3619 9255 8290 9005 6482 43 1867 4662 7218 3982 8588 9985 88 3821 7914 4074 8616 0833 2993 44 19 10 8957 2037 4308 0416* 6497- 89 3865 2208 8893 8941 2660 9505- "^1 1954 3251 6856 4633 2244 3008 90 3908 6503. 3712 9266 4488 6016 46 1997 7546 1675 4958 4071 95.19 9' 3952.0797 8531 9591 6316 2527 47 2041 1840 6494 5283 5899 6031- 92 3995 5052 3350 9916 8143 9039- 48 2084 6135 1313 5608 7727 2542- 93 4038 9386 8170 0241 9971 5550- 49 2128 0429 6132 5933 9554 9053 94 4082 3681 2989 0567 1799 2061 SO 2171 4724 0951 6259 1382 5564 95 4125 7975 .7808 0892 3626 8572 51 2214 9P18 5770 6584 3210 2076- 96 4169 2270 2627 121 7 5454 5084- 52 2258 3313 058a 6909 5037 8587 2301 7607 5408 7234 6865 5098 97 4212 6564 7446 1542 7282 1595 53 98 4256 0859 2265 1867 9109 8106 54 2345 1902 0227 7559 8693 1610- 99 4299 5153 7084 2193 0937 4618- Diese beiden Verwandlungstafeln sind auf 24 Steilen reducirte Auszüge aus grösseren, bis loooo ausgedehnten Tafeln, die der Autor als Manuscript bewahrt. TAFEL I (Columne A) Logarithmen der Zahlen von looo bis 9999. Bei der Berechnung der Primzahlen durch Verwandlung der natür- lichen Logarithmen von Wolfram (im Thesaurus Logarithmorum von Vega) wurde in Wo 1fr am* s Tafel bei log. nat. 6343 ein Druckfehler entdeckt, der auch in dem Abdrucke in der Schulz'schen Log.-Tafel erscheint. Es soll in der 1 1 . Decimale nicht 2 sondern 3 stehen. Bei dem Vergleiche der auf 24 Stellen ausgedehnten Originalrechnungen mit den in Callet's Tafeln (Paris, Tirage 1829) vorkommenden Zwanzigstelligen Logarithmen der Zahlen zwischen 1000 und 1200 ergaben sich mehrere Abweichungen in den Endzififerh. Um eine Einheit zu ^oss sind die Log. der Zahlen 1071, 1089, iioi, ito5, 11 15, 1119, ii3i, 1145, 1149, ii55, ii59, 1161, 1173, 1179, 1191 und 1193; zu klein (weil nicht erhöht) sind die Endziffern der Logarithmen von 1004, 1008, 10 10, 1012, 1016, 1024, 1026, io34, io36, 1068, 1078, 1084, 1086, 1094, 1104, 1108, II 12, II 14, II 18, 1126, ii3o, ii32, ]i34, ii36, 1144, ii52, ii56, ii58, 1162, 1164, 1166, 1169, II 70, II 74, II 78, II 83, II 84 und II 92. Bei dem Vergleiche mit den von Stiozzi - Ridolfi für die Florentiner Ausgabe von Gardiner*s Logarithmentafeln (1810) be- rechneten Zwanzigstelligen Logarithmen der Primzahlen von 1009 bis 6607 haben sich, abgesehen von sehr zahlreichen Unrichtigkeiten der Endziffern, folgende bedeutende Fehler gefunden: Im Log. i53i sollen die i3. und 14. Ziffer statt 62 sein 26. Im Log. i583 stehen die Endziffern 78029 statt 91 148. Im Log. 1597 soll die 3. Ziffer (von rückwärts) i sein, statt 2. Im Log. 1601 erscheinen als Endziffern der dritten Pentade 304 statt 299. Im Log. 1621 sind die 12 letzten Ziffern falsch und soll 48485 149447 1 stehen. Die Endziffern des Log. 1709 sind mit 71304 angegeben, statt 83466. Im Log. 1753 stehen die Endziffern 356 statt 237. Im Log. 1823 erscheint die 4. Pentade mit 29392 statt 30146. Im Log. 2677 sind alle Ziffern von der 7. an falsch, und soll stehen 371 18693263841 an der Stelle von 40039663433281. Im Log. 2689 soll die 7. und 8. Decimale 77 sein statt 80; im Log. 2969 die 3 Endziffern 937 anstatt 872; ebenso sollen im Log. 32o3 die Endziffern 5 06 sein (statt 636), und im Log. 3571 die Endziffern 279 (statt 323). Im Log. 3917 ebenso 52 (statt 97) und im Log. 4799 gleichfalls 87 (statt 95). Endlich ist im Log. 5387 die 3. und 4. Pentade falsch, 9236 1456 10 anstatt 4595493668. Steinhauser, Logarithmen. — 2 lOOO Ol 02 03 04 1005 06 07 08 09 lOIO II 12 H IOI5 16 17 18 1010 21 22 23 24 1025 26 27 28 29 1030 31 32 33 34 1035 36 37 38 39 1040 41 42 43 44 1045 46 47 48 49 Qooo 0000 oooo 0000 0000 o 3407 7479.3186 6772 1531 2269 0093 3020 41 81 3371 2809 0005 6606 1756 5076 9798 0719 9085 2947 0553 0180 6053 2109 5064 9II6 6230 9105 0043 2137 3782 6425 0004 08 13 17 0021 3o 34 38 47 Si 56 60 0064 68 73 77 81 0086 90 9J 98 0102 0107 II 15 19 24 0128 36 41 45 5"5 8051 0944 3795 6604 5591 »503 5360 4997 0010 7803 2804 317J 2249 2317 9370 7947 2095 2922 4777 8000 7418 4006 0017 «574 5089 7563 9995 2386 4736 7044 93" 1537 3722 5866 7969 0032 2053 n6i 20S6 5798 3712 6639 9004 7445 7399 4263 9175 9102 6939 1601 8119 5391 7731 0775 3597 4659 4762 4705 5*83 7291 1519 8757 7974 2781 2569 43*9 4066 9- 1*49 3- 1880 I- 2976 8 7623 o 9231 2- 0716 9 8615 7 2171 5 74*7 5 6348 5 1004 5 2845 o 7092 2- 2283 I 4988 8 9738 5 4178 2- 9490 5- 6104 9- 4724 8 2700 o 5771 2- 5*13 7 0408 2- 6863 5 9720 I 2759 o 2943 2- 0149 4034 9792 1722 0517 I 5165 4691 o- 19*5 4934 I 6205 7904 4 9237 0037 8 9365 5824 4 53 5975 5409 »14* i794 8 57 7875 6389 0409 6242 6- 61 9735 3512 4390 4706 9 66 1554 7557 '774 i*4o 2 0170 3333 9*98 7803 5484 8- 74 5072 9510 5361 5583 o 78 6771 8963 5056 6945 o 82 8430 8426 5308 6097 o- 87 0049 8666 2433 5235 o 0191 1629 0447 0728 0707 3- 95 3168 4531 2554 3447 4- 99 4668 1678 8423 3383 5 0203 6128 2647 7078 4645 I 07 7548 8193 5578 5990 7 1050 51 5* 53 54 105s S6 57 58 59 1060 61 62 63 64 1065 66 67 68 69 1070 71 72 73 74 107s 76 77 78 79 1080 81 82 83 84 1085 86 87 88 89 1090 91 92 93 94 1095 96 97 98 99 021 I 8929 16 0271 20 1573 24 2837 28 4061 0232 5245 36 6391 40 7498 44 8566 48 9596 0253 0586 57 1538 61 2451 65 3326 69 4162 0273 4960 77 57*0 81 6441 85 71*5 89 7770 0293 97 0301 05 10 0314 18 22 26 30 8377 8947 9478 997* 0428 0846 1227 1570 1876 2144 9069 6028 9817 1185 0876 9633 8197 7307 7699 0107 5*64 3901 6745 45*3 7959 7774 4690 94*4 2692 5208 7685 0831 5356 1965 1363 4251 1330 3*97 0850 4682 9380 2422 7202 4865 5*78 7114 7934 4262 1669 4850 7702 3406 4502 2967 0293 7565 5534 4698 5376 7780 2096 8556 7512 9510 5368 6241 7*79 4- 2008 4- 5940 o- 1838 7- 0342 I- 6986 8- 54" 4- 6758 I 5*94 9 0279 2 4084 7- 6612 3- 6006 4 5657 I 7789 o- 2817 4 5893 o- 9*53 5- 1244 6 1749 o 4083 5. 3384 1500 8414 0207 3597 8- 2 4 I 9 3703 7051 5- 9815 8511 2- 7198 9738 8 9106 7303 9 0334 *375 38 2569 42 2726 46 2845 50 2928 5486 9497 0354 58 62 66 70 0374 78 82 86 90 *973 2982 2954 2889 2787 2649 *475 2263 2016 1732 0394 141 I 98 1055 0402 0662 06 0234 09 9769 3953 0770 6625 2202 8184 5*5* 4086 5362 9755 7940 0588 8368 1949 1997 9176 4148 7574 0114 2423 3103 5506 3*03 3681 5483 8281 2945 1610 7749 6236 3418 7184 7027 41 19 0231 3- 4328 2- 3*09 3 6036 8- T994 ^. 1516 5 4*79 399* 9982 5609 3520 7761 2764 9226 6902 3- o I- I I 9 6 1371 4315 6- 3503 5420 4 7111 3221 5 0731 0369 o- 4905 6747 4- — 8 — l n IIOO Ol 02 03 04 II05 06 07 08 09 IIIO II 12 13 14 III5 16 17 18 iiao 21 12 23 *4 1125 26 27 28 29 1130 31 3* 33 34 "35 36 37 38 39 1140- 41 42 43 44 1145 46 49 0413 9268 17 8731 21 8159 *5 7551 29 6907 0433 6227 37 55" 41 4762 45 397^ 49 3154 0453 2297 57 1405 61 0478 64 9516 68 8519 0472 7486 76 6419 80 5317 84 4180 88 3008 0492 1802 96 0561 99 9*85 0503 7975 07 6631 5158 8971 4515 2440 3393 8021 6068 0878 0392 6149 8786 8940 7246 4334 0837 7384 4601 3115 3550 6528 2670 2594 6920 6261 »233 2250 4075 o 7517 7528 3- 7662 4408 3- 1Q05 9866 I 1800 9701 8- 1295 6794 7228 4109 1600 6574 8676 0386 7083 7100 1794 5599 6090 4044 3500 1816 9731 1426 4577 0422 0511 5252 2447 3812 15 3839 0515 19 2391 6046 23 0909 9647 26 9394 1924 0530 7844 3483 34 6260 38 464a 42 2990 46 1305 3*74 1065 3434 9678 0*53 3- 539* '- 0639 4 4420 5 6470 7 3410 3 1502 5 6609 8- 1364 o 9565 7 7826 I 4468 4 5701 6- 9082 5 4280 2- 1156 7 5179 7- 0179 9 8468 7 8329 I 8894 9- 2430 8 4029 2 8735 o 6114 4 4197 2279 5 4025 4552 9383 4 6852 2526 2598 6 9863 3972 4592 I 4556 8877 7510 6 0549 9586 1529 141 5 2488 9 1375 0000 6694 8- 4687 7347 7922 6 2059 °5*3 ^75° '" 4079 1003 6268 9 53 7833 57 6046 61 4226 65 2372 0569 0485 1336 72 8564 4418 76 6610 3909 80 4623 0395 84 2602 4457 0588 0548 6675 91 8461 7631 95 6341 7901 99 4188 8061 0603 2002 8688 47*5 2146 8292 2817 0053 9067 9404 s 3835 * 45*5 4 3883 7 9559 8- 9891 4 371 I 7014 4- 2676 7647 5 9547 1564 9 2851 7767 4 51 5* 53 54 "55 56 57 58 59 1160 61 62 64 1165 66 67 68 69 1170 71 72 73 74 "75 76 77 78 79 1180 81 82 83 84 1185 86 87 88 89 1190 91 9* 93 94 "95 96 97 98 99 0606 9784 0353 61 16 8365 4 10 14 18 22 0625 29 33 37 40 0644 48 5* 55 59 0663 66 70 74 78 0681 85 89 92 96 753* 5*47 2930 0580 8198 5783 3335 0855 8343 5798 3221 0612 7971 5*98 2592 9855 7085 4284 1451 8586 5689 2761 9801 6809 0353 3629 9087 9*94 8819 4228 4084 8951 9391 5963 9226 3738 8054 47*8 0313 536* 0422 6045 2776 1161 7918 1932 6990 7126 1631 5102 7495 4173 5959 9184 5738 3"9 4484 8696 0377 995* 3701 3806 8401 0184 o- 4108 o 2164 I- 2370 3- 1354 4- 4750 8- 5393 o 9310 6 954* * 7776 o 3829 o 2975 9- "39 o 7950 7- 7697 5 8159 7- 7354 o- 8192 9 1069 6 0700 3786 04 07 II 15 0718 22 26 29 33 0737 40 44 48 51 0755 II 66 70 0773 77 80 84 88 0732 7646 45*9 1380 8200 4989 1747 8474 S170 1835 8468 5071 1644 8185 4696 1176 7624 4044 0432 6790 3"7 9415 5681 1918 1746 1616 4379 7- 5072 3631 2990 2 1682 0718 4667 I 211; 5292 4470 3- 6911 5956 7127 7 6607 7550 7398 7- 1740 1196 8436 I- 2843 4346 8158 5- 0451 0828 3641 7- 5095 0891 3540 o 7306 7613 6545 4627 2386 0346 1253 5^47 236s 9303 9009 1226 8547 4 9908 4- 5988 I- 6912 5 7287 7 7007 6 9028 2438 0161 o 8954 5912 2046 7 0645 1747 430Ö 3- 4618 6915 8184 2 1392 1482 5404 3670 6793 5*84 5307 5925 2 7775 2176 3418 3502 1564 9652 3920 0406 4106 8053 2925 3098 8486 0317 2389 7278 8260 8978 3850 6683 7504 7595 1* 2- 9- 4 9- 8- 2- 9- 2- I- \ — 4 — IftOO Ol 02 03 04 1205 06 07 08 09 IftIO II 12 13 14 I215 16 18 21 22 ^3 24 1225 26 27 28 29 1430 31 3» 33 34 "35 36 38 39 1140 41 4* 43 44 1245 46 47 48 49 0791 8124 6047 6248 2772 3- 95 4300 7402 9060 4892 7 99 0446 7666 7207 1610 o- 0802 6562 7339 8447 4384 o- 06 .2648 6921 8057 4754 5- 0809 S704 ^910 8871 8886 3 13 4730 7804 13*5 0395 3- 17 0727 0007 3492 1463 3- 20 6693 4285 1130 2251 o 24 2630 0860 7718 8616 8 0827 8537 0316 4500 8150 o 31 4414 3143 0522 45*7 3- 35 0261 9830 2074 0199 8- 38 6080 0866 5729 7420 2 42 1868 6739 *387 7617 4- 0845 7627 7934 3309 9126 I 49 3357 4936 7161 3281 9- 52 9057 8230 0649 8886 7- 56 4728 8296 8565 5055 4- 60 0370 5618 3819 2450 I- 0863 67 70 74 77 0881 84 88 9' 95 0899 0902 06 09 13 0916 20 »3 27 30 5983 0674 1566 3944 7120 5906 2645 7036 8 141 7809 3608 8700 9047 0182 4456 2727 9836 6805 5188 2886 0511 5805 1070 6307 1515 6695 1439 7 6595 9697 7595 7482 2909 9 8824 7485 4- 5354 »883 4 2854 6333 I- 5423 8877 I 5512 7099 7- 3962 3295 6 0042 4090 5- 1488 7518 2 4540 8564 I 3979 3180 4 3163 0782 4 4066 5231 7 7316 4315 3- 2228 7725 9 6845 355* 9 1847 075» 7970 3*89 4- 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Steinhauser, Logarithmen. 8 — 84 4^00 Ol 02 03 04 4Ä0S 06 07 08 09 4110 II 11 13 14 4215 16 17 iS 4110 21 22 «3 H 4225 26 27 28 29 4*30 31 3* 33 34 4*35 36 37 38 39 4*4» 41 42 43 44 4»4S 46 47 48 49 6232 33 34 36 6237 38 39 40 41 6242 43 44 46 6247 49 50 51 5» 49*9 5268 5604 5939 6270 6600 6926 7251 7573 7892 8209 8524 8836 9145 9453 9757 0060 0360 0657 0952 0397 1537 8069 0005 7356 0133 8350 2016 1145 5748 5835 1420 2513 9126 1272 8960 2204 1014 5403 5381 9004 6322 I- 9919 8069 7 9337 7359 9" 4370 3767 8 2046 105 I I 9309 3022 9963 6826 0223 6683 2650 4489 8477 0813 761 1 4901 8634 4675 8809 7945 8957 5159 4982 5004 2* 3- 8 7 9- 0744 4 4 4 7448 0881 8112 9 8304 3 3494 5 9384 8 6122 8- 9085 4- 9660 7 6253 1245 0961 6738 6029 5 54 1535 2154 55 1822 8971 56 2108 1424 57 2390 95*5 6258 2671 3285 59 »949 *7i6 60 3224 7829 61 3407 8635 62 3708 5146 64 430* 5331 65 4565 9027 66 4826 8474 67 5085 3683 4081 6375 9076 7558 7111 *945 0188 3886 9003 6263 4036 7375 0423 2946 1293 0102 3931 6268 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1102 7916 9555 6079 7489 3788 4976 1053 2022 7883 8637 4286 4831 0272 061 1 5849 5986 1025 0967 5811 5560 0215 9776 4245 3622 7910 7109 1220 9554 4850 7353 8192 8489 9364 1935 7313 6608 0926 1368 9033 5015 0406 6293 3760 3887 7751 6426 0979 2478 1985 0558 9*53 9120 1208 6562 6221 1223 2602 1387 8605 5*79 2427 1066 3493 7 3230 2- 8749 o 2879 8- 2205 o- 7075 1626 3793 53*7 1810 5- 6 6 5 7- 7 o 5- I- 2672 1206 4581 3864 4028 8 3976 I 6547 5 8541 2 0728 2 7867 2 8720 6070 6732 1574 6 3- 7- 9- 55*9 9 7612 5- 0934 4. 2720 I 43** 5 1238 2- 31*3 3807 I313 7867 O 8 8- 9- 0244 2208 4182 686i 3036 6030 6807 0717 5495 i9»8 91C2 0629 7628 7840 1076 4538 9446 1706 9918 5- 8150 7502 7179 0669 5759 455* 3478 3314 9197 9- 6 I o 6 6- 9 9 I 9*0403 4 4759 8003 8028 4 9188 8910 1594 5 3617 5300 0314 5 8045 7174 3398 6 2473 4534 0053 6 6900 1327 5753 0179 4605 7379 9485 5713 0894 9534 3481 8844 6440 3644 8966 8 9030 9 9 20 20 3454 7879 2302 6726 3936 9718 0994 7763 0027 0250 9478 5836 8506 6667 9921 1148 7786 9496 21 5571 1042 6167 21 9992 9795 5850 22 4414 4046 7714 22 8835 3797 0924 9923 3255 9047 4643 *3 7675 9798 8029 24 2095 6052 0241 24 6514 7808 0433 25 0933 5067 7754 99*5 5351 783* 1356 5663 8 3068 I- 2096 o- 6440 4- 1566 4- 4722 8- 4953 6- 3109 5 1859 7 5702 9 0979 I- 5880 9- 0465 3- 6664 8- 8299 o- 1086 2- 2654 6- 2553 9- 2266 7 5220 I 6796 4346 7198 6670 6082 25 26 26 27 9927 28 28 29 29 9929 30 30 31 31 9769 6102 0382 4186 9878 3976 8603 9162 1279 3020 3954 1427 7436 4255 3555 185 I 0066 6795 6267 1389 0276 0681 8223 3125 5096 0570 4464 9509 8431 3415 7 6- 2- I- 3 0767 8- 8083 4 7422 o- 0223 i 9984 9- 2275 o- 4742 3 7128 2 1277 9 1151 6 2836 2 4556 4- 6685 9 1759 4482 2- 3 6- 1744 2629 7- 8427 I- 2643 * 3923 1806 9095 8336 0698 0619 2748 5105 7101 7160 5030 7649 1013 o- 9932 1572 0474 1370 1510 7- 32 5983 1436 7368 4361 6 33 0393 7919 4745 2053 3 33 4803 9923 2598 9346 5 33 9213 7449 0025 3286 9- 98^0 51 5* 53 54 9855 56 57 58 59 9860 61 62 63 64 9865 66 67 68 69 9870 71 72 73 74 9875 76 77 78 79 9880 81 82 83 84 9885 86 87 88 89 9890 91 92 93 94 9895 96 97 98 99 9934 34 35 35 36 9936 ^37 37 37 38 9938 39 39 40 40 36*3 8031 2440 6848 1255 5662 0069 4475 8881 3286 7691 2095 6499 0903 5306 9940 9708 41 41 4* 42 9943 43 44 44 44 9945 45 46 46 47 9947 48 48 48 49 9949 50 50 51 51 9951 52 52 53 53 9954 54 55 55 55 4111 8512 2914 7314 1715 6115 0514 4913 9312 3710 8108 2505 6902 1298 5694 0089 4484 8879 3273 7667 2060 6453 0845 5237 9629 4020 8410 2800 7190 1579 5968 0357 4744 9132 0497 9069 3167 2789 7938 8615 4820 6554 3818 6613 4941 8801 8195 3"3 3587 9588 1126 8202 0817 8973 2669 1908 6689 7014 2883- 4298 1250 3768 1825 5431 4587 9294 9553 5364 6730 3649 6124 4156 7744 6891 1597 1862 7689 9077 6028 8542 6621 0265 9475 4252 6117 9965 0655 7274 8903 4620 3215 8 0782 995» 7024 0635 1774 o 7- 5- 2- 6- 3502 3795 q- 4623 2426 8- 7053 5780 8 9861 4368 6- 2112 H08 7- 2868 1339 2- 1189 2828 8- 6132 5787 7 6752 2879 4 2099 9231 2- 1224 2445 7- 3171 2612 o- 6984 2316 6- 1703 6654 9 6367 3H* I 0010 1664 0360 5123 4978 8946 6046 5294 5702 6281 6038 3979 9106 0417 691 1 7579 141 5 7406 4538 1794 8154 2596 4095 1624 4150 0642 0063 1374 3534 2224 4 6290 o 0680 6- 3201 9- 4235 4- 6749 o 6308 5 1088 1882 3- 7 2117 o 7858 6 7828 o- 3409 7- 8663 7- 0336 2- 7870 8- 3419 4- 1853 5- 0775 o- 0527 4206 7671 9557 1283 7065 3927 1712 3091 3577 4- 8- 5 3 4 6 3- 3 3- — 91 / ^ ^-. J 9900 9956 3519 4597 5499 ^534 o 01 56 7906 0511 6221 8188 o 02 57 2292 1995 4652 7639 2- 03 57 6677 9049 9739 6871 7 04 58 10631^0676)0427 5765 3- 9905 9958 5447 9874 5658 7105 7 06 58 9832 3646 4372*6596 2 07 59 4216 2992 5506 2868 o 08 59 8599 7913 7993 7491 6- 09 60 2982 841 I 0766 4987 3- 9910 9960 7365 4485 2753 2836 4 11 61 1747 6137 2880 1492 3 12 61 6129 3368 0070 4300 9 13 62 0510 6178 3244 7061 8 14 62 4891 4569 1321 1039 2 9915 99^* 9*7^ 8541 3214 787a 8- 16 63 3651 8095 7838 2138 5 17 63 8031 3233 4101 2049 6- 18 64 2410 3955 091 I 1867 3- 19 64 6789 0261 7172 35 II 9 9920 9965 "67 2154 1786 5573 5 21 65 5544 9633 3652 8822 9 22 65 9922 2700 1667 7122 4- 23 66 4299 1355 4724 7436 6- 24 66 8675 5^00 1714 9843 4 9925 9967 3051 5435 1526 7544 9 26 67 7427 086 I 3045 6878 o- 27 68 1802 1879 5154 7325 2- 28 68 6176 8490 6734 1525 6- 29 69 0551 0695 6661 5285 7 9930 9969 49*4 8495 381 I 7590 3 31 69 9298 1890 7057 0612 9 32 70 2671 0882 5266 9726 9 33 70 8043 5471 7308 3516 3- 34 71 2415 5659 2045 3786 3- 9935 9971 6787 1445 8339 5574 3 36 72 1158 2832 5049 7160 8- 37 7* 55*8 9820 1032 0079 6 38 72 9899 2409 5139 9129 4- 39 73 42^9 0^1 ^224 2383 6- 9940 9973 8638 4397 3133 1201 9- 41 74 3007 3797 471* 0*40 6 4* 74 7375 8802 9803 7463 5 43 75 1743 9414 7*48 415* 6- 44 75 6111 5633 5883 4918 7- 9945 9976 0478 7460 4543 7712 3. 46 76 4845 4896 2061 3834 4- 47 76 921 I 7941 7265 7946 9 48 77 3577 6597 8983 8083 8- 49 77 7943 0865 6039 5^6' ' 998i77 9831 7358 9040 2860 3882 344* 4358 7858 0470 4861 2218 3202 9603 1628 2625 8884 1287 3711 5588 4849 5530 1035 1113 1004 2338 3487 9206 7213 5488 6 5779 6 8162 2- 7689 6- 2851 I- 5582 6 1277 4- 8796 6- 0479 9 2156 6- 3155 5 6316 3 7999 8- 8098 5- 0047 5- 0835 o- 1012 8 4707 I 9629 7085 1988 I 2867 4- 1879 5 4819 2- 1129 2- 391 1 6 9937 9 9659 7 7219 4- 0460 4- 0938 o- I- 2- 7 o 1719 9876 3679 3128 8225 8971 5366 7410 5106 8454 0909 3298 3101 9037 9823 4170 0790 8332 5680 1357 392( 844^ 7240 6 6821 I 7459 5 3202 6 1882 8- 5128 I- »373 i 0869 5695 9768 3852 2572 4- 5 3 7- 2 7454 41*4 2108 2678 2416 5714 8380 1924 4420 o 1768 7 0881 I- 1920 5 8961 5 — D2 — Nachträgliche Bemerkung zur Columne A. Die Beschaffenheit der Differenzen der Logarithmen in der Columne A ermöglicht keine bequeme Art, einem Fehler in der zweiten Hälfte der Mantissen auf die Spur zu kommen. Man müsste, um sicher zu gehen, mit genauester Berücksichtigung der erhöhten Endziffern wenigstens acht erste Differenzen rechnen, um schliesslich drei sechste Differenzen zu erhalten, eine zeitraubende Arbeit, die bedeutender wäre und weniger sicher im Endresultate, als die Neuberechnung eines ver- dächtigen Logarithmus, die auch nur in dem Falle weitwendiger wäre, wenn der Logarithmus einer Prim:[ahl angehört. Da eine solche Unter- suchung eines solchen Tafellogarithmus nahe mit der Aufgabe zusammen- fällt zu einer fünfyifferigen Zahl den Cogarithmus mit zwanzig Stellen zu finden, so scheint es angezeigt, auf eine Formel aufmerksam zu machen, mittelst der mit drei, gegen das Ende der Columne A sogar mit :j[wei Gliedern ausgereicht wird, weil sie eine sehr convergirende Reihe gibt. Es sei N die Primzahl, deren Log. gesucht wird, und man habe bereits durch die Logarithmen passender Factoren die Log. von (iV -j- i ) und {N — i) zur Verfügung; ferner sei S die Summe und d die Differenz dieser beiden Logarithmen; dann ist: Ein Paar übersichtlich ausgeführte Beispiele am Anfange und am Ende der Tafel I werden den Vorgang deutlich zeigen. :V= 10007. log' * + log. 5003 = log. 10006 = 4'oco2 6049 8547 3903 4681 8- log. 2 4- log. 5004 = log. 10008 = 4*0003 4 729 6685 363$ 4068 8- d= 8679 8137 9731 9387 o - log. iV= 4-00030 log. 10,10,10 0150 51 5» 53 54 0255 56 58 59 öa6o 61 62 63 64 0265 66 67 68 69 0170 71 72 73 74 0275 76 77 78 79 oftSo 81 82 83 84 0285 86 87 88 89 0190 91 92 93 94 0295 96 97 98 99 4 O B 1085 7226 3328 90 0654 6931 94 4083 0490 98 751 I 4007 1103 0939 7480 1107 4368 0909 II 7796 4295 16 1224 7637 20 4653 0937 24 8081 4192 o 1129 33 37 4* 46 o 1150 55 59 63 68 o 1172 76 89 o 1194 98 o 1202 07 II 1509 4938 8366 1794 5222 8651 2079 5507 89*6 2364 5792 9220 2649 6077 9505 7404 0573 9819 2814 5766 8674 1539 4361 7138 9873 2564 5212 7816 «934 0377 6362 2894 9790 5368 3218 7700 6647 0186 1760 9- 2750 8 9468 I 1912 8- 0084 9 3984 7- 3612 I- 8967 2 0050 3- 6861 2- 9400 I 7667 2- 1662 4< 85 37 8018 1- 4926 9 7564 4. 5930 6- 0025 5- 9849 4 5402 2 6684 I 3695 I 6435 4- 4905 o- 9103 9 9032 4- 4690 4 6078 I o 1216 0075 2530 319$ 6042 4620 8927 20 24 29 33 3503 4830 6931 7087 0350 9300 3788 1470 o 1237 7216 0644 42 46 50 55 o 1259 63 68 72 76 o 1281 89 94 98 4072 7500 0929 4357 7785 1213 4641 8070 1498 4926 8354 1782 5210^ 3597 5680 7720 9716 1669 3578 5444 7267 9046 0782 *474 4iii3 5729 7291 8809 9- I- 3 8964 6 4732 2- 6229 9 3458 I- 6416 7- 5105 8- o- 2 3 4 95*5 9676 5557 7169 451a 7586 5 6391 8- 0928 3 1196 I 719s 4 8 o 1085 7362 0340 I- 90 0791 4820 9 94 4220 9301 7 98 7650 3782 5 o H03 1079 8263 3 o 1107 4509 2744 I " 793 16 136 20 4797 24 8227 o 1129 1656 33 5085 37 8515 42 1944 46 5374 o 1150 8803 55 "33 59 5662 63 9092 68 2521 o 1172 5950 76 9380 81 2809 85 6239 89 9668 o 1194 3098 98 6527 o 1202 9957 07 3386 II 6816 7224 9 1705 7 6186 5- 0667 3- 5148 I- 9628 8 4109 6- 8590 4' 3071 r 7551 9- 2032 6 6513 4- 0994 I 5474 8 9955 6- 443^ 3 8917 o 3397 8- 7878 5- «359 *- 6839 9- 1320 6- 5801 3- 0282 o- o 1216 0245 4762 7- 20 3674 24 7104 29 0533 33 3963 1237 7392 42 0822 46 4251 50 7681 55 i"o 1259 4539 63 7969 68 1398 72 4028 76 8257 1281 1687 85 5116 89 8546 94 1975 98 5404 9*43 4- 37*4 o 8204 7 2685 4* 7166 o 1646 7 6127 4- 0608 o 5088 7- 9569 3 4050 o- 8530 6 3011 2 7491 9- 1972 5- 6453 I 0933 7 5414 3 9894 9 D 12 1085 7362 90 0791 5. 94 4220 9 98 7650 4- 1103 1079 8 1107 4509 3- II 7938 7 16 1368 2- 20 4797 6 24 8227 I- 1129 1656 5 33 5086 0- 37 8515 4 4* 1944 9' 40 5374 3 II 50 8803 8- 85 22J3 2 59 5662 7- 63 9092 I 68 2521 6- 0- 1172 5951 76 9180 5- 81 2S09 9 85 6235 4. 89 9668 8 1*194 3098 3- 98 6527 7 1202 9957 I 07 3386 6- II 6816 1216 0245 5. *o 3674 9 24 7104 4. 29 05x3 8 33 3963 3- 1237 7392 7 42 0822 2- 46 4251 6 50 7681 I- 55 "lo 5 1259 4540 0- 63 7960 4 68 1398 9- 72 4828 3 76 8257 8- 1281 1687 2 85 5116 7- 89 8546 I 94 1975 6- 98 5405 7 * — 100 — (3) (7) in) lO, 10, lO B 0300 1302 8639 0284 8926 I 01 02 03 04 07 2067 I7I6 6388 4- II 5495 3104 958a 3 15 8923 4449 8508 0- ao 2351 5751 3165 5 0305 1324 5779 7009 3555 0- 06 09 28 9207 8223 9676 4- 33 »655 9395 1530 0- 37 6064 0522 91 15 7 41 9492 1607 2433 7 0310 1346 2920 2648 1484 I- II 12 13 14 50 6348 3645 6266 9- 54 9776 4599 6782 2 59 3204 5510 3030 2- 63 6632 6377 5010 8 0315 1368 0060 7201 2724 3- 16 11 19 72 3488 7981 6170 6 76 6916 8718 5349 9- 81 0344 9412 0262 2 85 3773 0062 0907 7 0320 1389 7201 0668 7286 4 21 22 23 »4 94 0629 1231 9389 4 98 4057 1751 7243 8 1402 7485 2228 0822 7 07 0913 2661 0135 2- 03*5 1411 4341 3050 5181 3 26 27 28 29 15 7769 3396 5961 a- 20 1197 369Q 2474 9- 24 4625 3958 4722 5- 28 8053 4174 2704 2- 0330 1433 148 I 4346 6419 9- 31 3* 33 34 37 4909 4475 5869 8- 41 8337 4561 1054 0- 46 1765 4603 1972 5- 50 5193 4601 8625 5- 0335 1454 8621 4557 1012 9 36 39 59 2049 4468 9135 I- 63 5477 4337 ^901 9- 67 8905 4162 2583 4 7* ^333 3943 79^9 9 0340 1476 5761 3681 8971 4- 41 42 43 44 80 9189 3376 5767 9- 85 2617 3027 8299 5- 89 6045 2635 6566 3 93 9473 **oo 0568 5- 0345 1498 2901 1721 0306 46 49 1502 6329 1198 5779 06 9757 0632 6907 6 II 5185 0023 3031 9- 15 6612 9370 661 I 9- 8 o 130a 07 II 15 20 i3«4 28 33 37 41 1346 50 54 59 63 8834 2263 5693 9122 2552 5981 941 1 2840 6270 9699 3128 6558 9987 3417 6846 4375 5 8856 I 3336 7 7817 3 2297 9 6778 5- o 1368 0276 72 3705 76 7135 81 0564 85 3993 o 1389 7423 94 0852 98 4282 O 1402 77 II 07 1141 o 141 I 4570 15 8000 20 1420 24 4858 28 8288 o 1433 1717 37 5147 41 8576 46 2006 50 5435 o 1454 8865 1259 I 5739 6 0220 2 4700 8 9181 3 3661 9 8142 4 2623 o 7103 5 1584 I 6064 6 0545 I 5025 9506 3986 8467 2947 7428 1908 6389 0869 5350 9830 43" 8791 6 2- 7- 2- 7 2 7 2- 7- 1- 7- I I- 63 67 72 1476 80 89 93 1498 1502 07 II IS 2294 57H 9^53 2582 6012 9441 2871 6300 9730 3159 6583 0018 3447 6877 3272 775a 5 2233 o 6713 4 1193 9 5674 3 0154 8 4635 ^ 9115 3596 8076 2556 7037 1517 8 5998 0478 4959 9439 3919 7- I- 5 9 3 2- 6- o- 4" 7 D 13 1302 8834 5- 07 2263 9 II 5693 4- 15 9122 8 20 2552 2 1324 5981 7- 28 33 37 41 941 1 I 2840 6- 6270 9699 5- 1346 3128 9 50 6558 4- 54 9987 8 59 3417 3- 63 6846 7 1368 0276 2- 1 72 3705 6 76 7135 I- 81 0564 5 85 3994 o- 1389 74*3 4 94 0852 9- 98 4282 3 1402 771 I 8- 07 1141 2 141 1 4570 7- 15 8000 I 20 1429 6- 24 4859 28 8288 5- 1433 1717 9 37 5147 4- 41 8576 8- 46 2006 2 50 5435 7- 1454 8865 I 59 2294 6- 63 57*4 67 9153 5- 72 2582 9 1476 6012 4- 1 80 9441 8 85 2871 3- 89 6300 7 93 9730 *- 1498 3159 6 1502 07 II IS 6580 I- 0018 5 3448 0- 6877 4 ^ 101 — (3) {7)(n) lO, lO, lO B 4» 03150 1520 0040 8674 5027 7 51 5» 53 .54 24 3468 7934 9179 5. 28 6896 71 51 9067 2 33 03*4 6325 4691 I- 37 375» 5455 6051 i- 0355 1541 7180 4542 3147 4- 56 58 59 46 0608 3585 5980 50 4036 2585 4549 I- 54 7464 1541 8854 7. 59 0892 0454 8896 9- 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«535 I 1007 9699 1500 2979 4 I 1009 3649 7670 4- I 1009 3651 2- 36 37 38 39 12 3117 5894 7479 8 16 6536 0245 7905 9 20 9954 4553 4257 8 25 3372 8817 6535 6- 13 7079 2141 3- 18 0508 6612 2- 22 3938 1083 *6 7367 5553 9 13 7080 6 18 0510 I- 22 3939 5 26 7369 0- 4540 I 1029 6791 3038 4739 3 I 103 I 0797 0024 8- I 1031 0798 4 41 42 43 44 34 0209 7215 8869 I 38 3628 1349 8925 I- 42 7046 5440 4907 3- 47 0464 9487 6815 8- 35 4226 4495 7- 39 7655 8966 5 44 1085 3437 4- 48 4514 7908 2 35 4*27 9- 39 7657 3- 44 1086 7 48 4516 2- »545 I 105 I 3883 3491 4650 6 I 1052 7944 2379 i- I 1052 7945 6 46 47 48 49 55 7301 7451 8412 60 0720 1368 8100 0- 64 4138 5242 3714 6 68 7556 9072 5256 0- 57 1373 6849 61 4803 1320 8"- 65 8232 5791 6 70 1662 0262 5- 57 1375 I- 61 A804 5 65 8234 0- 70 1663' 4 — 145 — (3){7)(n) 10,10,10 4550 51 5* 53 54 *555 56 58 59 61 62 63 64 2565 66 67 68 69 »570 71 7* 73 74 *575 76 78 79 1580 81 82 83 84 2585 86 87 88 89 91 92 93 94 *595 96 ^Z 98 99 I 1073 0975 77 81 86 90 I 1094 99 I X103 07 12 I xix6 20 *5 29 33 X X138 4* 46 5X 55 X X159 64 68 72 77 I 1181 85 90 94 99 X 1203 07 12 16 20 I 1225 29 33 38 42 I 1246 51 55 64 I 1268 72 77 81 85 4393 7812 1230 4648 8067 1485 4903 8322 X740 5x58 8577 1995 5413 8832 2250 5668 9087 2505 59*3 934X 2760 6178 9596 3015 6433 985 X 3*69 6688 0106 35*4 6942 0361 3779 7197 0615 4034 745* 0870 4288 2859 6602 0302 3959 757* 114X 4668 8151 1590 4986 8339 1648 4914 8x36 1315 4451 7543 0592 0500 9478 *353 5x85 7974 07x9 34*0 6078 8603 1264 379* 6277 8718 1116 3470 5781 8048 0272 *453 4590 6684 2724 2 61 19 3 544X 5- 0690 7 1867 I 8970 8 2001 9 oq6o 4- 5846 4 6660 I- 340X 4 6070 6- 4667 6- 9192 6- 9645 6 6026 8- 8336 2 6573 9 0740 o 0834 6 6857 8 8809 6 6690 2 0499 6 0238 o- 5905 3 7501 7 5027 3 8482 2 7866 5- 3180 I 3 I 7- o- 44*3 1596 4698 373X 8693 I 9585 3 6407 5 9159 8 784* 3 7706 8735 1125 4543 7961 1379 4797 8216 X634 5052 8470 0742 2705 4626 6503 8336 0126 1873 3576 5*36 2455 *- 2998 4 9472 2- 1876 5- 0211 4 4477 X 4673 6 0801 I- 2859 5 0849 I- c X 1074 5091 4733 3- 78 8520 9204 I 83 X950 3674 87 J379 8145 8- 91 8809 2616 6- I 1096 2238 7087 4- I IIOO 5668 1558 2- 04 9097 6029 0- 09 2527 0499 8- 13 5956 4970 6- I 1117 9385 944X 4- 22 2815 39x2 I 26 6244 8^82 9 30 9674 2853 7- 35 3103 73*4 5- X XX39 6533 1795 * 43 9962 6266 0- 48 3J92 0736 8- 52 6821 5207 5 57 0250 9678 3- I ii6x 3680 4149 0- 65 7109 8619 7 70 0539 3000 5. 74 3968 756X 2 78 7398 203X 9 I I183 0827 6502 7- 87 42J7 0973 4- 91 7686 5444 I- 96 II 15 9914 8* I 1200 4545 4385 5 I 1204 7974 8856 2 09 1404 3326 9- X3 4833 7797 6- 17 8263 2268 3- 22 1692 6739 0- I 1226 5122 1209 6 30 8551 5680 3 35 1981 0151 0- 39 5410 4621 7- 43 8839 9092 3 I 1248 2269 3563 0- 52 5698 8033 6 56 9128 2504 3- 61 2557 6974 9 65 5987 1445 6- I 1269 9416 5916 2- 74 2846 0386 8 78 6275 4857 4 82 9704 9328 I- 87 3x34 3798 7- X 1074 5092 9- 78 8522 1 83 X951 8- 87 5381 2 91 8810 7- I 1096 2240 I I IIOO 5669 6- 04 909a 09 2528 5- X3 5957 9 I 1117 9387 4- 22 28x6 8 26 6246 3- 30 9675 7 35 3x05 *- X 1139 6534 6 43 9964 X- 48 3393 5 52 6823 0- 57 0252 4 I 1161 3681 a 65 71H 3- 70 0540 7 74 3970 a- 78 7399 6 I 1183 0829 I- 87 4*58 5 91 7688 0- 96 1117 4 I 1200 4546 9- I 1204 7976 3 09 1405 8- 13 4815 2 17 8264 7- 22 1694 I I 1226 5123 6- 30 85J3 35 198* 5- 39 541 X 9 43 8841 4- I 1248 2270 8 52 5700 3- 56 9129 7 61 255Q 2- 65 5988 6 I 1269 9418 I- 74 *847 5 78 6277 0- 82 9706 4- 87 3x35 8 Steinhäuser, Logarithmen. 10 liß •— (3) (7) In). 10,10,10 B 16^ I 1290 1888 6852 4769 8- Ol 02 03 ■ 04 94 5306 8425 4621 7 98 8724 9955 0405 I- I X303 2143 1441 2119 8 07 5561 2883 9766 I 2605 I 1311 8979 4283 3344 ■ 06 07 ■ 08 09 16 2397 5639 28^3 6- 20 5815 6951 8295 0- 24 9233 8220 9668 2 29 2651 9446 6973 4 ai»io I 1333 6070 0629 0210 7- 11 12 13 14 37 9488 1767 9380 I- 42 2906 2863 4481 7- 46 6324 3915 5515 6- 50 9742 4924 2481 8 1615 I 1355 31^ 5S89 5380 6 16 17 18 19 59 6578 6811 42x2 0- 63 9996 7689 8975 9 68 5414 8524 0672 7- 72 6832 9316 6302 2 2610 I 1377 0251 0064 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5 65 4864 4269 I- 69 8293 8739 6 74 1723 3210 I I 1378 5152 7680 7- 82 8582 2151 2- 87 201 I 6621 7 91 5441 1092 2 95 8870 5562 7 I 1400 2300 0033 2 04 57*9 4503 7 08 9158 8974 2 13 2588 3444 7 17 6017 7915 2 I 1421 9447 2385 7. 26 2876 6856 2- 30 6306 1326 6 34 9735 5797 i 39 3^65 0267 6- I 1443 6594 4738 48 0023 9208 5 5» 3453 3679 0- 56 6882 8149 4 61 0312 2619 9- I 1465 3741 7090 3- 69 7171 1560 7 74 0600 6031 2- 78 4030 0501 6- 8ä 7459 497a I 1487 0888 9442 4 91 4318 3912 8 95 7747 8383 3. 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3405 06 07 08 09 34'0 II 12 13 14 3415 16 17 18 19 3440 21 22 «3 24 34*5 26 27 28 29 3430 31 32 33 34 3435 36 37 38 39 3440 41 42 43 44 3445 46 47 48 49 I 4763 67 72 76 80 I 4785 89 o^^ I 4802 I 4806 II 15 19 24 I 4828 3* 37 41 45 I 4850 54 63 67 I 4872 76 80 85 89 I 4893 98 I 4902 06 II I 4915 5027 8441 1856 5271 8686 3144 9994 6801 3564 0285 2100 6961 3787 6455 5124 9794 0464 7136 2- 4- 3 2- 9 5515 3594 9809 7- 8930 0184 8483 8 «344 6731 3159 2 5759 3*34 3836 i- 9173 2588 6003 9417 2832 6247 9694 6110 2483 8812 5098 1341 0514 3 3194 2- 1875 7- 6558 9- 7243 9 3930 8 9661 7540 6619 8- J076 3696 5310 8- 6490 9800 0003 9 9905 5878 0699 3 33*0 6734 0149 3563 6978 0393 3807 7222 0636 4051 7465 0880 4295 7709 1124 4538 1903 7886 3824 9720 5572 1381 7146 2868 8546 4181 7397 I- 0097 2 8799 9 3505 a- 4213 I 0923 9- 3637 5- 2354 o- 7073 5 7796 2 9773 45** I" 53*1 0826 6288 1706 7080 7251 3 5983 8 0719 8 1459 8202 4- 6- »9 7953 *4i* 0949 5 24 1367 7699 9700 3- 28 4782 2944 4454 9 32 8196 8145 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3864 7272 0680 4087 7495 0903 4310 7718 1126 4533 7941 1349 4756 8164 1572 4979 8387 1794 5202 8610 2017 5425 8833 2240 5648 9055 2463 5870 9278 2686 6093 9501 2908 6316 9723 3131 6538 9946 2302 0828 2- 9723 5714 6- 7101 6740 5 4436 3906 I 1727 7211 5- 8975 6656 6 6180 2241 7 3341 3966 9- 0459 '832 I- 7533 5837 4 45^4 5983 I- 1552 2269 I 8496 4695 6- 5397 3262 5 2254 7970 I 9068 8818 4 5839*5807 2566 8937 9250 8208 5891 3620 2488 5173 4 9042 2867 8 5552 6703 4 2019 6680 4 8443 2798 9 4823 5059 o 1160 3460 7 7453 8004 2 3703 8689 5 9910 5516 7 6073 8486 o 5 5- 4- 3 2193 7597 2 8270 2850 7 4303 4246 5- 0293 1784 6- 6239 5465 I 2142 5288 2- 8002 1253 8 3818 3362 2- 9591 1613 3 5320 6007 4- 1006 6544 3 6649 3224 3 2248 6047 5- 7804 5013 8 3317 0123 5- 8786 1376 5 4211 8773 I- 9594 ^313 ^' 4933 1996 9- c 2 1714 7235 5229 5- 19 0664 9689 6 23 4094 4149 8 27 7523 8610 0- 32 0953 3070 2- 2 1736 4382 7530 3 40 45 49 53 7812 1990 5 1241 6450 7- 4671 0910 8 8100 5371 0- 2 1758 1529 9831 I 62 66 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0184 9261 6- 2 5015 3614 3718 5- 19 7043 24 0473 28 3902 32 733? 8175 4- 2632 3- 7089 1 1546 2 5037 0761 6002 9- 41 4191 0459 7 45 7620 49161 6- 50 1049 9373 s- 54 4479 3830 3 2 5058 7908 8287 2- 63 1338 2744 0- " 67 4767 7200 8 71 8197 1657 7- 76 1626 6114 5- 2 5080 5056 0571 3 84 8485 5028 I 89 1914 9485 0- 93 5344 3941 8- 97 8773 8398 6- 2 5102 2203 2855 4- 06 5632 10 9062 15 2491 19 5921 7312 2- 1769 0- 6225 8- 0682 5 2 5123 9350 5139 3 28 2779 32 6209 36 9638 41 3068 9596 I 4052 9- 8509 6 2966 4 2 5145 6497 7423 2- 49 9927 1879 9 54 3356 6336 7- 58 6786 0793 4 63 0215 5250 2- 2 5167 3644 9706 9 71 7074 76 0503 80 3933 84 7362 4165 6 8620 4- 3077 I- 7533 8 2 4971 76 80 84 89 2 4993 97 2 5002 06 II 2 5015 19 24 28 3* 2 5037 41 45 50 54 2 5058 63 67 71 76 2 J080 84 89 93 97 I- 5 o- 4 9- 9327 2756 6186 9615 3044 6474 3 9903 8 3333 2 6762 7 0192 I 3621 6 7051 o 0480 5- 3909 7339 0768 8 4198 7627 1057 4486 7916 9 4- 3" 7 2- 6 1345 4775 8204 1633 5063 8492 1922 5351 8781 5 o- 4 9- 3- 7 2- 6 1- 2 5102 2210 5 06 5640 o- 10 9069 4 15 2498 9- 19 5928 3 * 51*3 9357 8- 28 2787 2 32 6216 7- 36 9646 I 41 3075 6- 2 5145 6505 o 49 9934 5- 54 3363 9 58 6793 4- 63 0222 8 2 5167 3652 3- 71 7081 7 76 05 II 2- 80 3940 6 84 7370 I- SteinhauseTt Logarithmen. 14 — 210 — (3) «7) In) lO, lOy lO • B 5800 2 5181 7779 405' 0388 6 Ol 02 03 04 86 II 83 6766 4650 3 90 4587 9438 5121 0- 94 7992 2067 1800 6 99 1396 4652 4689 4 5805 2 5203 4800 7194 3787 4 06 07 08 09 07 8204 9692 9094 7 12 1609 2148 061 I 4 16 5013 4550 8337 6- 20 8417 6928 2273 3- $810 2 5225 1821 9253 2418 6 II 12 13 14 29 5226 1534 8773 7 33 8630 3773 1338 6 38 2034 5968 Ol 13 4 42 5438 81 19 S098 2- 5815 2 5246 8843 0227 6293 I- 16 17 18 19 51 2247 2292 3698 I- 55 5651 4313 7313 4- 59 9055 6291 7139 0- 64 2459 8226 3175 0- 5810 2 5268 5864 0117 5421 5 21 22 »3 24 72 9«68 1965 3878 7- 77 2672 3769 8546 5- 81 6076 5530 0425 1- 85 9480 7248 6514 5 5825 2 5290 2884 8922 9814 9 26 27 28 29 94 6289 0553 9326 3 98 9693 2141 5048 9- * 5303 3097 3685 6982 6- 07 6501 5186 5127 6 5830 2 53 II 9905 6643 9484 31 3* 33 34 16 3309 8058 0051 9- 20 6713 9428 6831 3- 25 0118 0755 9822 3 29 3522 2039 9025 I 5835 2 5333 6926 3280 4439 7 36 37 38 39 38 0330 4477 6066 2- 42 3734 5631 3904 6 46 7138 6741 7955 2- 51 0542 7808 8217 9- 5840 2 5355 3946 8832 4692 8- 41 42 43 44 59 7350 9812 7380 I- 64 0755 0749 6279 7 68 4159 1643 '39' 9 72 7563 2493 2716 7. 5845 2 5377 0967 3300 0254 I 46 47 48 1 49 81 4371 4063 4004 4- 85 7775 4783 3967 4 90 II 79 5460 0143 4 94 4583 6093 2532 4 c 2 5189 0792 1990 5 93 4221 97 7651 2 5202 1080 06 4509 6447 2 0904 0- 5360 7- 9817 4- 2 5210 7939 4274 1 15 19 23 28 1368 8730 7 4798 3187 4 8227 7644 I 1657 2100 8- 2 5232 5086 6557 5- 36 8516 1014 I 41 1945 5470 8- 45 5374 99*7 4 49 8804 4384 I 2 5254 2»33 8840 8- 58 5663 62 9092 67 2522 71 5951 3297 4 7754 2210 7- 6667 3 2 5275 9381 1123 9 80 2810 84 6240 88 9660 93 3098 5580 6- 0037 2- 4493 8 8950 4 2 '5297 6528 3407 2 5301 06 10 15 9957 7863 6 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08 12 17 21 4515 7912 1310 4707 8104 1502 4899 8297 1694 5091 8489 1886 5*83 8681 2078 5476 8873 2270 5668 0570 5408 0202 4953 9661 43*5 8946 35*4 8058 *549 6996 1400 5761 0078 435* 8583 2770 6914 1015 5072 9086 3056 6083 0867 4707 8504 2258 5968 9635 3*58 6838 0375 3869 73^9 0725 7143 *- 4508 4- 8218 2- 8272 6 4671 9 7416 I- 6505 2- 1939 3 3718 6 1843 2- 6313 o- 7128 2- 4288 9- 7795 *- 7647 I- 3844 8- 6388 2 5*77 6 0513 I- 2094 5 0022 2 4296 I 4916 4 1883 I 5196 4- 4856 2 0862 8- 3216 1916 6963 8357 6008 0107 0623 7406 4 I- 3- 4- 6- 9- 4 2 3 19*0 24 29 33 38 3 194* 46 51 55 59 3 1964 68 72 77 81 3 1985 90 94 98 3 2003 3 2007 II 16 20 24 3 2029 33 37 42 46 6432 9861 3291 6720 0150 3579 7009 0438 3868 7*97 0726 4156 7585 1015 4444 7874 1303 4733 8162 1591 5021 8450 1880 5309 8739 2168 3- 2 4680 5 9130 5 3580 5- 8030 5- 2480 4 6930 4- 1380 4- 5830 3 0280 4730 9180 I 3630 I- 8080 o 2529 9 6979 9- 1429 8* 5879 0329 4779 9229 3679 8129 2579 7029 1478 9- 59*8 0378 7 6 5 4 2 I o- 7 6 5598 ,. 9027 4828 5- 2456 5886 3 2 3 2050 9315 55 63 68 3 2072 76 81 85 90 3 *094 98 3 *i03 07 II 3 2116 20 24 29 33 9278 37*8 8178 I- 2627 9 7077 8- 1527 6- 5977 4 0427 3- 4877 I- 9326 9 3776 7 8226 6- *745 6174 9604 3033 6463 9892 33*1 6751 0180 3610 2676 4- 7039 7126 2- 0469 1576 o- 3898 6025 8- 73*8 0475 6- 0757 49*5 4- 4186 9375 I 7616 3824 9 1045 8274 7 4475 *7*4 5- D 3 1920 6444 2- 24 9873 6 *9 3303 I- 33 673* 5 38 0162 0- 3 1942 3591 4 46 7020 9- 51 0450 3 55 3879 8- 59 7309 * 3 1964 0738 7- 68 4168 I 72 7597 6- 77 1027 . 8i 4456 5- 3 1985 7885 9 3 90 1315 4- 94 4744 8 98 8174 3- 2003 1603 7 3 2007 5033 2- II 8462 6 16 1892 I- 20 5321 5 24 8751 0- 3 2029 2180 4 1 33 5609 9- 37 9039 3 42 2468 7 46 5898 2- 3 2050 9327 6 1 55 *757 I- 59 6186 5 63 9616 0- 68 3045 4 3 2072 6474 9- 76 9904 3 81 3333 8- 85 6763 2 90 0192 7- 3 2094 3622 I 3 98 7051 6- 2103 0481 07 3910 5- " 7339 9 3 21 16 0769 4- 20 4198 8 24 7628 3- 29 1057 7 33 4487 2- Steinhauser, Logarithmen. 16 — 242 — J 13) (7) (") lO, 10, lO 7400 Ol 02 03 04 7405 06 07 08 09 74IO II 12 13 14 7415 16 17 18 19 7410 21 22 *3 24 74*5 26 27 28 29 7430 31 3* 33 34 7435 36 37 38 39 7440 41 42 43 44 7445 46 47 48 49 3 2125 9065 4089 0537 I 30 2462 7409 0015 4- 34 5860 0685 5841 3- 38 9257 3918 8014 9 43 *654 7108 6536 4- 3 2147 605* 51 9440 56 2846 60 6243 64 9641 3 2169 3038 73 6435 77 9833 82 3230 86 6627 0255 1405 7 3358 2623 I- 6418 0188 5 9434 4102 I 2407 4364 o- 5337 0974 *- 8**3 393* 8- 1066 3239 9 3865 8895 7- 6622 0900 I 3 2191 0024 9334 9253 3 95 3422 2004 3955 4- 99 6819 4630 5006 4- 3 2204 0216 7213 2406 4 08 3613 9752 6155 6 3 2212 701 I 2248 6254 o- 0408 4701 2701 7- 3805 71 10 5498 7 7202 9476 4645 2 0600 1799 0141 3 3 3 17 21 *5 30 2234 38 43 47 51 2256 60 64 69 73 2277 82 86 90 95 2299 2303 08 12 16 3997 7394 0791 4189 7586 0983 4380 7777 "75 457* 7969 1366 4763 8160 1558 4955 8352 1749 5146 8543 4078 6314 8506 0655 2761 48*3 6842 8818 0750 2639 1987 0182 47*7 5622 2868 6463 6408 2704 5350 4346 5- 7 9- o 6 3- 2 6 4484 9^3 5 6287 1391 o- 8045 9439 2- 9761 3838 I 1433 4587 9- 3062 1688 6 4647 5140 4- 6189 4943 3- 7688 1097 3 9143 3602 7 3 2321 1941 0555 2459 4 25 5338 1923 7667 6 *9 8735 3*48 9**7 4" 34 2132 4530 7138 8- 38 55*9 5769 1401 9- c 3 *137 7904 7174 * 42 1334 1624 46 4763 6073 8- 50 8193 0523 5 55 1622 4973 3- 3 2159 5051 94*3 6j 8481 9872 8- 60 1910 0322 5- 72 5340 2772 2 76 8769 7222 0- 3 2181 2199 1671 7- 85 5628 6121 4- 89 9058 0571 I 94 2487 5020 8 98 5916 9470 5 3 2202 9346 3920 2 07 2775 8369 9 II 6205 2819 6 15 9634 7269 3 20 3064 1719 0- 3 2224 6493 6168 7- 28 9923 0618 4- 33 335* 5068 37 6781 9517 7- 42 02 II 3967 4- 3 2246 3640 8417 50 7070 2866 7- 55 0499 7316 3 59 3929 1766 0- 63 7358 6215 6 3 2268 0788 0665 3- 72 4*17 5"4 9- 76 7646 9564 5 81 1076 4014 I 85 4505 8463 8- 3 2289 7935 2913 4- 94 1364 7363 0- 98 4794 1812 6- 3 2302 8223 6262 2- 07 1653 0711 8- 3 2311 5082 5 161 4- 15 8511 96x1 0- 20 1941 4060 6- *4 5370 8510 I 28 8800 2959 7 3 2333 2229 7409 3- 37 5659 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2806 9- 6236 3- 9665 7 3095 2- 6524 6 9954 I- 3383 5 — 282 — (3) (7) (II) 10, 10, 10 B moo 4 0804 5061 8415 9613 5 Ol 02 03 04 08 8450 5022 7598 8 13 1839 1586 2105 I- 17 J227 8106 3132 3 21 8616 4583 0680 7- 9405 4 0826 2005 ioi6 4750 2 06 07 08 09 30 5393 7406 5341 I- 34 8782 3753 24C3 2 39 217 I 0056 6086 9- 43 5559 6316 6242 94 26 9015 5 31 2445 0- 35 5874 4 39 9303 9- 4 1844 *733 3 48 6162 8- 5* 959* * 57 3021 7- 61 6451 I 4 1865 9880 6- 70 3310 74 0739 5- 79 0168 9- 83 3598 3 4 1887 7027 8- 92 0457 2 96 3886 7- 4 1900 7316 I 05 0745 6- — 287 — |3) (7) In) 10, 10, 10 9650 51 5a 53 54 9655 S6 ^2 58 59 9660 61 64 9665 66 67 68 69 9670 71 72 73 74 9675 76 77 78 79 9680 81 82 83 84 9685 86 87 88 89 9690 9^ 92 93 94 9695 96 98 99 4 1889 2092 93 5479 97 8867 4 1902 2254 06 5642 4 1910 9029 15 2417 19 5805 21 9102 28 2580 4 193a 5967 36 9355 41 2742 45 6130 49 9517 4 1954 58 62 67 71 4 1975 80 84 89 93 4 1997 4 2002 06 10 15 2905 6292 9680 3067 6455 9842 3430 6617 0005 339a 6780 0167 3555 6942 0330 4 2019 3717 23 7104 20 0492 32 3879 36 7267 0934 6704 2431 8114 3754 9351 4904 0414 5881 1304 6684 2021 7314 2564 7771 »934 8054 3130 8164 3153 8100 3003 7863 2679 7453 2182 6869 1512 6112 0668 5181 9651 4077 8460 2800 4 2041 0654 7096 1349 5559 9725 3848 79*8 1964 5957 9007 3813 7676 45 4042 49 74*9 54 0816 58 4204 4 2062 7591 67 0979 71 4366 75 7753 80 1141 2084 4528 88 7916 93 1303 97 4690 2101 8078 2697 4 3610 7- 1066 5 5065 o 5606 3- 2690 4- 6317 4- 64874 3200 6- 6456 9 6256 5 2599 5- 5485 9- 4015 8 0889 4 3406 7. 2467 8- 8072 7 0221 6 8914 6- 4151 7- 5933 o 4258 7- 9128 7 0543 3- 8502 4- 3006 2- 4054 7- 1648 o 5786 3- 6469 6- 3697 9 7471 5- 7790 3 4654 5- 8064 I- 8019 2 4520 o- 7566 4 7158 7- 3296 8- 5980 8 5210 9 0987 2- 3309 6 2178 4- 1495 7593 5 5271 9555 2- 9004 8063 4- 2694 3118 2 c 4 1909 4154 8153 5- 13 18 22 26 7584 4593 4 '013 7033 4 4443 H73 4 7872 5913 4- 4 1931 1302 0353 4- 35 4731 39 8160 44 X590 48 5019 4793 3 9*33 3 3673 3- 8113 2 4 195a 8449 *553 *- 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29 6705 7710 9 4 3*34 0135 2149 6- 38 3564 6588 2 42 6994 1026 9 47 04*3 54^5 ^ 51 3852 9904 2 4 3*55 7282 4342 9- 60 64 68 73 0711 8781 5 4141 3220 2- 7570 7658 8- 1000 2097 4 4 3277 4429 6536 81 785Q 0974 7- 86 1288 5413 3- 90 4717 9851 9 94 8147 4*90 5 4 3*99 1576 8729 I 4 3303 07 12 16 5006 3167 7 8435 7606 3 1865 2044 9 5294 6483 5 4 33*0 8724 0922 I- *5 29 33 38 *i53 5360 7- 5582 9799 * 9012 4237 8 2441 8676 4- 4 334* 5871 3114 9 46 51 55 59 9300 7553 5 2730 1992 1- 6159 6430 6 9589 0869 2- 4 3364 3018 5307 7- 68 72 77 81 6447 9746 2 9877 4184 8- 3306 8623 3- 6736 3061 8 4 3386 0165 7500 3 90 3595 »938 9- 94 7024 6377 4- 99 0454 0815 9- 4 3403 3883 5*54 4- 4 3407 7312 9692 9- 12 16 20 *5 0742 4131 4- 4171 8560 9- 7601 3008 3 1030 7446 8 1 3 4 3*1* 3009 5- 16 20 *5 29 6438 9 9868 4. 3*97 8 67*7 3- 4 3*34 0156 7 38 3586 2- 4* 7015 6 47 0445 I- 51 3874 5 4 3*55 7304 0- 60 0733 4 64 4162 9- 68 7592 3 73 1021 8- 4 3*77 4451 * 81 86 90 94 7880 7- 1310 I 4739 6- 8169 4 3*99 1598 5- 4 3303 50*7 9 07 8457 4- 12 1886 8 16 5316 3- 4 33*0 8745 7- 25 2175 I 29 5604 6- 33 9034 38 *463 5- 4 334* 589* 9 46 51 55 59 93** 4- 2751 8 6181 3- 9610 7 4 3364 3040 2- 68 72 77 81 6469 6 9899 i- 33*8 5 6758 0- 4 3386 0187 4 90 3616 9- 94 7046 3 99 0475 8- 4 3403 3905 * 4 3407 7334 7- 12 16 20 *5 0764 I 4193 6- 7623 1052 5. Anhang. Da dieses Werk die Bestimmung hat, als Hilfsmittel bei der Berechnung vielstelliger Logarithmen und vice versa der ihnen ent- sprechenden. Zahlen zu dienen, sa würde es als eine Lücke angesehen werden können, wenn die natürliche Logarithmen ausgeschlossen geblieben wären; da jedoch die Anwendung dieser nicht so häufig ist, so schien die Anfügung einer kleinen Tafel, die nach den Methoden Flower's u. a. für viele Factoren eingerichtet ist, hinreichend. Sie ist nur. so weit ausgeführt, bis die natürlichen Logarithmen den End- ziflferader Factoren gleich werden, was bei ro^9li eintritt. Ihr Gebrauch setzt die frühere Auflösung der Zahlen in Factoren voraus und ergibt sich aus einem Beispiele, das (so* wie die Tafel) den Log. von Salomon (Wien' 1827) entnommen wurde. Man sucht log. nat. it. ir dividirt' durch 4 (= 3 -|- 1) gibt 0*785 .. . Nun ist 2 (das Complement von 7 zu 9) die. Endziffer des ersten Factors, dann 5 die des zweiten u. s. f. iT =s: 3* 14159^65358979323846 a6 ; 4 0-78539816359744830961 56 X !•* I 5707963267948966192 31 0-94247770607603707153 87 X 1*05 4712388980384689875 69 0-98960168588078487011 56 X 1*01 989601685880784870 12 0-99949770273959271881 68 X i*cr5 49974885136979635 94 ^^^ 0*9999974515909625151762 X ^*o* I999994903I8I92 50 0*99999945158586569710 12 X 1*05 4999997^579^93 ^8 ,^ (7) 0*99999995158559140003 40 X i'04 3999999806342 36 0-99999999158558955345 76 X i-o8 799999983^68 46 ^^ 0*9999999995855894861422 X 1*04 39999999977 4^ ^^^^ — (10) 0-99999999998558948597 64 X i-oi 999999999 99 ^^^^ 0-99999999999558948597 63 X 1*04 400000000 00 d«) 0-9999999999995894859763 X 1-04 Fact. 1-2 1.05 I'OI 1-05 (5) 1-02 (•) 1-05 (») r-04 i-o8 (•) 1*04 (10) 1*01 (") 1*04 («) 1.04 (18) fOI (15) 1*05 (16) I-OI ai) 1-04 (19) 1*02 L. n. 0*1823.2155 6703 9546 2621 487 9016 4109 4320 0307 99 5033 0853 1680 8*85 49987 5041 6510 4791 199 9998 0000 0267 49 9999 8750 0004 3 9999 9992 0000 7999 9999 6800 399 9999 999* 10 0000 0000 4 0000 0000 4000 0000 100 0000 5 0000 1000 400 Summe = 0*2415 6447 5270 4904 4469 log.n.4s= 1*3862 9436 1119 8906 1883 log. n. TT =s= I - 1447 2988 5849 4001 7414 Die Entwicklung der Factoren wird nur soweit fortgesetzt, bis ganz gleiche Producte zum Vorschein kommen, und die Complemente keine Aenderung mehr erleiden. Wird die Zahl zu einem vielzifFerigen Log. nat. gesucht, so erhält man durch continuiriiches Abziehen der nächst grossen Tafellogarithmen die diesen entsprechenden Factoren aus der Eingangscolumne. Das Product der Factoren gibt die gesuchte Zahl. - 296 — N 10« 10« lo' 10« lo« 10^ 10 8' 10« 10 l 7 6 5 4 J 2 •1 l 5 4 3 2 I i*o 7 6 5 4 3 2 I 1*009 8 7 6 5 4 3 2 I (8) 7 6 5 4 3 2 I Log. nat. 20'7232 18*4206 16* XviBo 13-8155 11*5129 9*2103 6*9077 4-6051 2*3025 2*1972 2*0794 1-9459 1*7917 1*6004 I • 3862 1*0986 0*6931 o-oooo 0*6418 5877 5306 4700 4054 3364 2623 1823 0953 o*o86i 769 676 582 487 39a 295 198 99 6583 8074 9565 1055 2546 4037 55*7 7018 8509 H57 4154 1014 5946 3791 9436 1228 471S 0000 5388 8666 2825 0362 6510 7223 6426 2155 1017 7769 6104 5864 6890 9016 2071 5880 0262 5033 0*0089 5974 79 6816 69 7561 59 8207 49 8754 39 9202 29 9550 19 9800 • 9 9950 0-0008 9959 6946 395* 0958 7964 4970 1976 8982 5988 2994 7336 1679 9055 9228 H34 1119 8668 0559 0000 6172 4902 1062 9*45 8108 6621 4467 6793 9804 6241 1136 8473 8123 4169 3153 2241 7296 0853 1371 9649 3736 1677 1511 1269 8979 2662 0333 7 6 5242 0170 5114 996 9975 . 5 9982 0071 4 3 9995 5008 9998 0002 9999 5000 9987 5041 9992 0021 4111 3654 3197 2741 2284 1827 1370 0913 0456 2193 8359 3133 0550 1003 8906 1096 9453 0000 3947 1190 1703 7355 1643 2129 4910 9546 3248 0523 1283 8148 9757 4320 2812 5444 1707 1680 4719 1768 4252 5474 0390 5374 7984 6730 0835 8360 5643 *733 9676 6510 3269 9979 6662 3333 N W 5616 "1 7214 8813 7 041 1 6 2009 5 3607 4 5205 3 6804 2 8402 I (c; 8279 1*09 2825 8 05II 7 0081 6 7460 5 1883 4 9140 3 0942 2 0000 I (6) 7599 1*09 0819 8 9623 7 5365 6 8x98 5 3050 4 5204 3 2621 2 6004 I (I) 3*34 ''1 2498 0527 7 7553 6 0307 5 9627 4 0273 3 1303 2 8285 I (8) 0444 1*09 7351 8 4210 7 6378 6 7361 5 5300 4 7881 3 5602 2 3317 I W 9301 I*OQ 3*16 8 4193 7 1554 6 4791 5 3538 4 7549 3 6673 2 0834 I Log. nat. 0*0000 8999 5050 3429 8^60 7999 ^800 £706 5643 6999 7S50 H43 2733 5999 8200 0719 0676 4999 8750 0416 0510 3999 9200 0213 3269. 2999 9^50 0089 Q080 1999 9000 0026 0063 999 9950 0003 3333 o-oooo 0899 9959 5002 4300 799 9968 0001 7067 699 9975 5001 1433 599 9982 0000 7200 499 9987 5000 4167 399 999* ^^^^ *'33 299 9995 5000 0900 199 9998 0000 0267 99 9999 S^>^ 0033 o-oooo 0089 9999 5050 0024 79 9999 ^800 0017 69 9999 7550 001 I 59- 9999 8200 0007 49 9999 8750 0004 39 9999 9*00 0002 29 9999 9550 0001 19 9999 9800 0000 9 9999 995^ 0000 o-oooo 0008 9999 9959 5000 7 9999 9968 0000 6 9999 9975 5000 5 9999 9982 0000 4 9999 9987 Sooo 3 9999 999* 0000' * 9999 9995 5ooo I 9999 9998 0000 9999 9999 S^oo 0*0000 0000 8999 9999 5Q50 7999 9999 6800 6999 9999 7550 5999 9999- 8200 4999 9999 8750 3999 9999 9*«> 2999 9999 9550 1999 9999 9800 999 9999 995° 0*0000 0000 0899 9999 99^ 799 9999 99^8 699 9999 9976 599 9999 99»* 499 9999 9988 399 9999 999* 299 9999 9996 199 9999 9998 100 0000 0000 — 296 — Corrigenda. (Die Ziffern-Gruppen sind von der Rechten zur Linken gezählt.) In der Columne A. Seite Log. Zifr.-Gr. statt soll stehen Seite Log. Ziff.-Gr. statt soll stehen 6 1498 4 I180 1181 69 7773 I 5859 0698 8 1607 5963 I 9242 9742 74 8212 3 0689 51 2 379» 739» 83 9144 2 2252 "53 5» 6091 2 4112 4212 88 9663 3 5939 9539 53 6136 3 0949 0940 89 9721 3 , 3103 3130 55 6384 I 1093 1039 90 9804 3 5280 2580 64 7228 2 8924 ] 8942 [n der Co lumne B. Seite Log. Ziff.-Gr. statt soll stehen Seite Log. Ziff.-Gr. statt soll stehen 102 0416 3 6247 6274 169 3750 2 019^! 0148 104 0528 1533 3 0134 0143 170 3805 2 7056 7050 124 I 2724 2742 209 5771 2 0433 6433 124 1536 I 1931 1933 3039 212 5908 3 5414 5415 151 2858 2 9639 217 6176 I 5707 5705 163 3450 I 9876 9846 226 6600 3 9180 9810 163 3490 2 385a 5852 238 7233 I 9385 3985 164 3544 I 4286 4268 244 75*4 I 9870 9879 166 3648 I 5140 5141 286 9646 I 5468 4468 I n der C< Alumne C. Seite Log. ZiflF.-Gr. statt soll stehen Seite Log. Ziff.-Gr. statt soll stehen 118 1212 I 8677. 8877 177 4193 I »443 4443 138 2249 I 2827 9- ■ 8817 I 193 4993 I 4408 4008 155 3057 2 8321 I 3821 n der C< 259 >lumne 8263 D. 2 7517 7515 Seite Log. ZiflF.-Gr. statt soll stehen Seite Log. Ziff.-Gr. statt soll stehen 96 0144 2 24 25 230 6825 I 5984 5983 126 1645 2 7744 7144 281 9382 I 2082 5082 180 4303 I 6315 6915 Ferner sind folgende Endziffern zu verbessern: Seite Log. statt soll stehen Columne A. J^ |?1J T 07 9521 ö 9- B. Das Erhöhungszeichen - den Endziffern anzufügen: Col. A. Seite 65 Log. 7313 » 109 » » 117 » » 189 » » 267 » » 273 » » 283 » » od » » 180 » » 251 » » 254 » » C. » D. 0784 1183 4778 8667 895c 9475 0123 4320 7854 8045 ^ Seite Log. statt soll stehen Columne ft^ '^7 4^3 5 3 ,^, 274 9010 3 4- ist bei folgenden Logarithmen als ungehörig zu entfernen: Col. B. Seite loo Log. 0306 » » » • C. » » n w » II . D. » » » 121 136 137 »73 158 222 »35 267 171 n » 1» » » .1381 2II6 2157 8951 3»4» 0401 7080 8676 3868 In dem Quinquennium, das seit dem Drucke der Tafel ver- flossen ist, sind mir von mehreren Seiten Anzeigen von entdeckten Druckfehlern zugekommen, wofür ich hier nochmals verbindlichst danke. Namentlich hat Herr J. Blater in Wörrstadt Veranlassung genommen, die Tafel durchgänglich zn revidiren, und den Löwen- theil der Corrigenda geliefert. Da er unlängst erklärte, er habe durch die eingehendste Prüfung die Ueberzeugung gewonnen, dass die Tafel nun keinen Fehler mehr enthalte, so glaubte ich den Augenblick für gekommen zu halten, um die Verlagshandlung zu ersuchen, den folgenden Nachtrag der Corrigenda drucken zu lassen und jedem Exemplare beizugeben. Steinhauser. Nachträgliche Corrigenda. In der Eingangscolumne sind die AnfangsziflFern zu verbessern S. 54 bei 6255, 6265, 6275, 6285, 6295; S. 75 bei 8310 und S. 229 bei 6790. Col. Seite Log. Ziff. Gr statt soll stehen, Col. Seite Log. Ziff. Gr. statt soll stehen A 25 3316 3 1678 1878 A 61 6968 3 1899 '999 » 26 3484 3 6235 6335 9 61 6972 3 8537 8437 » 26 3486 3 2873 2773 » 61 6974 3 2039 3039 » 41 4952 3 5012 6012 » 88 9644 3 1605 1705 » 47 5596 3 5719 5819 » 91 9904 3 0676 1676 » 48 5660 5 5728 7528 B 187 4660 I 4388 7388 » 58 6630 4 1852 1352 » 187 4673 2 7717 87>7 » 58 6632 3 7342 7542 » 293 9999 2 2534 »543 D 269 8790 2 1784 8174 Endlich soll im Beispiele auf S. VIII Z. 8 v. u. statt 3136 stehen 9136 und auf S. VIII Z. 10 v. o. statt sin 37" 48" stehen 37" 48'. In den Corrigenden soll statt CoL B S. 187 stehen Col. C S. 187. f. J *^ J N •3 C 3 C E im 1/3 IS VI IC (0 s 1 G G G 0% k £3 • c C *S TD ;3 CID 2 ^ G cd w Ui 4.^ 'S o "ü 1/3 > G 12 ^ (L) 4-1 Q> O rs J3 c G vi?' p CQ 4^ •o Cd o C/3 C/3 o a> <*-( T3 c •s G G 3 c Cd ^> l-' Ol ÖO^ tiO CiO C G o c 2 •»4 U c < (/2 73 c/3 Ul O > bo > *-» 3 N :3 Cd cd u. <1> • ^4 G G S TD G G fc_^ C '(^ OJ •—4 O Ö ^ -o T3 G Cd 1«— • G :cd £i ^J P tti JH 2 '55 Vi 1— ^ G CJ p G CO cd 15 M— 1 < -o Cd G G J 'S • »^ 'S t/3 cd u •T3 4> • 1-4 T3 0) ^3 TD Vl-I Vi Q cd G O c/3 p Cd c/> CA • P Cd T3 cd T3 T3 H c p G G CA ^^^ vH p 4^ 3 0) • •-4 Cd u :P c J3 m 2 o c« C t/3 G btO O P cd Xi •ö NJ G 6 cd u lU • ^"^ c e TD ^ G Id u P (x^ 1— - > < G •.Cd k